埼玉大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第055回
この回のテストポイント
- 第1問：指数方程式・不等式と置換
- 第2問：双曲線の接線と不変な面積
- 第3問：データの変換と分散
- 第4問：区分求積と和の極限
- 第5問：内分点・内積・三角形の面積
- 第6問：合同な2円の交点と共通弦
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 指数方程式・不等式と置換（17点）
\(F(x)=4^x-10\cdot2^x+9\) とする。
（1）F(x)=0を解きなさい。（5点）
（2）F(x)≤0を解きなさい。（5点）
（3）F(x)の最小値と、その値をとるxを求めなさい。（7点）
第2問 双曲線の接線と不変な面積（17点）
第1象限の双曲線 \\(xy=81\\) 上の点 \(P(t,81/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）
第3問 データの変換と分散（17点）
5個のデータは \(7,8,9,10,11\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（5点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（5点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（7点）
第4問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、\(B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{9n+j}\) とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第5問 内分点・内積・三角形の面積（16点）
A(0,0)、B(18,0)、C(0,18)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（4点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（8点）
第6問 合同な2円の交点と共通弦（16点）
中心O(0,0)、A(9,0)、半径がともに9の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（4点）
（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（4点）
（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 指数方程式・不等式と置換
（1）
\(u=2^x>0\) とすると \(u^2-10u+9=(u-1)(u-9)\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
置換後の二次式が非正なのは2つの根の間。指数関数の単調性でxの範囲へ戻す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
平方完成する。頂点のuは正なので元の指数関数でその値を実現できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=81/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-81/t=-81(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(162/t\)。その積が \(324\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+162/t\ge36\)。等号は \(t=9\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(9\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{9+x}\)、
は \(g(x)=1/(9+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 合同な2円の交点と共通弦
（1）
PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{9}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。