埼玉大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第037回
この回のテストポイント
- 第1問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第2問：1の累乗根と積・距離の和
- 第3問：データの変換と分散
- 第4問：回転軸を変える体積計算
- 第5問：内積・角度とベクトルの射影
- 第6問：委員選出と余事象の数え上げ
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三次関数の増減・接線・定積分（17点）
\(f(x)=x^3-81x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）\(x=27\) における接線を求めなさい。（5点）
（3）\(\int_0^{81} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）
第2問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^27=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{26}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{26}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{26}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第3問 データの変換と分散（17点）
5個のデータは \(25,26,27,28,29\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（5点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（5点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（7点）
第4問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le27\) で曲線 \(y=x(27-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第5問 内積・角度とベクトルの射影（16点）
とする。
（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）
（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）
（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）
第6問 委員選出と余事象の数え上げ（16点）
男子27人、女子27人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（4点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（4点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-54)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=54で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
傾きは \(-2187\)、接点のy座標は \(-39366\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(27\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{26}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{26}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(27\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{27}x(27-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(27-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le729/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(27\pm\sqrt{729-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 内積・角度とベクトルの射影
（1）
対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。平方完成して頂点を求める。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。