埼玉大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第033回
この回のテストポイント
- 第1問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第2問：1の累乗根と積・距離の和
- 第3問：絶対値の和と場合分け
- 第4問：指数関数の最大値と積分の極限
- 第5問：等差数列の一般項・和・境界
- 第6問：余弦定理・面積・正弦定理
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 剰余定理と三次式の因数分解（17点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(14)=0\)、\(P(-14)=5488\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（5点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）
（3）P(x)を \(x-28\) で割った余りを求めなさい。（7点）
第2問 1の累乗根と積・距離の和（17点）
方程式 \(z^14=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{13}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=0}^{13}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^{13}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）
第3問 絶対値の和と場合分け（17点）
\(f(x)=|x-14|+|x+14|\) とする。
（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）
（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）
（3）不等式 \(f(x)\le 42\) を解きなさい。（7点）
第4問 指数関数の最大値と積分の極限（17点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-14x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）
第5問 等差数列の一般項・和・境界（16点）
初項14、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（4点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）
（3）\(a_n\ge 42\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（8点）
第6問 余弦定理・面積・正弦定理（16点）
三角形ABCでAB=14、AC=28、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（4点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（4点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(P(x)=(x-14)\(x^2+14x-196\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(14\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{13}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{13}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 絶対値の和と場合分け
（1）
符号が変わる点は \(-14,14\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
左右の外側で \(-2x\le 42\)、\(2x\le 42\)。中央の区間はすべて条件を満たす。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-14x}(1-14x)\)。指数因子は正なので \(x=1/14\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{14x+1}{196}e^{-14x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(e^{-14a}\) と \(ae^{-14a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で \(BC^2=196+784-784\cos60^\circ\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。