龍谷大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第092回
この回のテストポイント
- 第1問：二次方程式の解の符号
- 第2問：余弦定理・面積・正弦定理
- 第3問：指数関数の最大値と積分の極限
- 第4問：等差数列の一般項・和・境界
- 第5問：円と直線の交点数・弦の長さ
- 第6問：複素数の回転と正三角形
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 二次方程式の解の符号（17点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+196=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（5点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（7点）
第2問 余弦定理・面積・正弦定理（17点）
三角形ABCでAB=14、AC=28、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（5点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）
第3問 指数関数の最大値と積分の極限（17点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-14x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）
第4問 等差数列の一般項・和・境界（17点）
初項14、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(a_n\ge 42\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）
第5問 円と直線の交点数・弦の長さ（16点）
円 \\(x^2+y^2=196\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。
（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（4点）
（2）接するときのaと接点を求めなさい。（4点）
（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（8点）
第6問 複素数の回転と正三角形（16点）
複素数平面で \(A=14,B=14i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。
（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（4点）
（2）正三角形の面積を求めなさい。（4点）
（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-196)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
解の積は \(196\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で \(BC^2=196+784-784\cos60^\circ\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-14x}(1-14x)\)。指数因子は正なので \(x=1/14\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{14x+1}{196}e^{-14x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(e^{-14a}\) と \(ae^{-14a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 円と直線の交点数・弦の長さ
（1）
代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-196=0\\)。判別式を0以上にする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 複素数の回転と正三角形
（1）
。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(|B-A|=14\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。