龍谷大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第040回
この回のテストポイント
- 第1問：データの変換と分散
- 第2問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第3問：回転軸を変える体積計算
- 第4問：部分分数分解と有限和の評価
- 第5問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第6問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 データの変換と分散（17点）
5個のデータは \(18,19,20,21,22\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（5点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（5点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（7点）
第2問 委員選出と余事象の数え上げ（17点）
男子20人、女子20人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）
第3問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le20\) で曲線 \(y=x(20-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第4問 部分分数分解と有限和の評価（17点）
\(a_n=\frac1{(n+20)(n+21)}\) とする。
（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）
（3）\(S_n\ge\frac1{42}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）
第5問 三次関数の増減・接線・定積分（16点）
\(f(x)=x^3-60x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（4点）
（2）\(x=20\) における接線を求めなさい。（4点）
（3）\(\int_0^{60} f(x)\,dx\) を求めなさい。（8点）
第6問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）
複素数zが \(|z-20|=2|z+20|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）
解答・解説
第1問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(20\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{20}x(20-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(20-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le400/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(20\pm\sqrt{400-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 部分分数分解と有限和の評価
（1）
分子が隣接する分母の差であることを利用する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-40)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=40で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
傾きは \(-1200\)、接点のy座標は \(-16000\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-20)^2+y^2=4((x+20)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
原点から中心までの距離は \(100/3\)、半径は \(80/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-20w|=2|1+20w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。