龍谷大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第018回
この回のテストポイント
- 第1問：直角三角形の三角比と内接円
- 第2問：余弦定理・面積・正弦定理
- 第3問：三角関数の積分漸化式
- 第4問：等差数列の一般項・和・境界
- 第5問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第6問：1の累乗根と積・距離の和
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 直角三角形の三角比と内接円（17点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=28、AC=56とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（5点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（5点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（7点）
第2問 余弦定理・面積・正弦定理（17点）
三角形ABCでAB=28、AC=56、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（5点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）
第3問 三角関数の積分漸化式（17点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）
（2）\(I_{56}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(I_{57}\) を求めなさい。（7点）
第4問 等差数列の一般項・和・境界（17点）
初項28、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(a_n\ge 84\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）
第5問 三次関数の増減・接線・定積分（16点）
\(f(x)=x^3-84x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（4点）
（2）\(x=28\) における接線を求めなさい。（4点）
（3）\(\int_0^{84} f(x)\,dx\) を求めなさい。（8点）
第6問 1の累乗根と積・距離の和（16点）
方程式 \(z^28=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{27}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（4点）
（2）\(\sum_{j=0}^{27}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（4点）
（3）\(\prod_{j=1}^{27}(1-z_j)\) を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
面積は \(784\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(28\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(28\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-56)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=56で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
傾きは \(-2352\)、接点のy座標は \(-43904\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(28\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{27}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{27}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。