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立命館大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第039回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　放物線の接線と囲まれた面積（17点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-144)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（5点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（7点）

第2問　絶対値を含む面積の最適化（17点）

\(0\le a\le12\) とする。\(0\le x\le12\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）

第3問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{24}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{25}\) を求めなさい。（7点）

第4問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉24個、青玉12個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第5問　楕円の接線と切片・回転体（16点）

楕円

\[ \frac{x^2}{576}+\frac{y^2}{144}=1 \]

の第1象限の点 \(P(24\cos t,12\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

第6問　剰余定理と三次式の因数分解（16点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(12)=0\)、\(P(-12)=3456\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（4点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（4点）

（3）P(x)を \(x-24\) で割った余りを求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=144\)。

\[ \boxed{y=24x-144,\quad y=-24x-144} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

接点は \((\pm12,144)\)。底辺の長さは \(24\)、Pから底辺までの高さは \(288\)。

\[ \boxed{3456} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-12)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{12}(x-12)^2\,dx\)。

\[ \boxed{1152} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le12\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{12}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-72a+576} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-72\)。定義域内で \(a=12/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=6\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=288(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(12\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{676039}{8388608}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(12\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{4194304}{16900975}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{276}{595}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{24}+\frac{y\sin t}{12}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(24/\cos t\)、\(12/\sin t\)。面積は \(144/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=288,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(144\(1-x^2/576\)\)。\(-24\le x\le24\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{4608\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-288,\quad b=1728} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(P(x)=(x-12)\(x^2+12x-144\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=12,6(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{8640} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。