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立命館大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第027回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(15,0)、半径がともに15の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第2問　絶対値を含む面積の最適化（17点）

\(0\le a\le15\) とする。\(0\le x\le15\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（5点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（5点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（7点）

第3問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le15\) で曲線 \(y=x(15-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第4問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉30個、青玉15個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第5問　双曲線の接線と不変な面積（16点）

第1象限の双曲線 \\(xy=225\\) 上の点 \(P(t,225/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）

第6問　二次方程式の解の符号（16点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+225=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{15}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{15}{2},\frac{15}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{15}{2},-\frac{15}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{15\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{225}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le15\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{15}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{225}{2}a+1125} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{225}{2}\)。定義域内で \(a=15/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{15}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{1125}{2}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{15}x(15-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{1125}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(15-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{15}x^2(15-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{50625}{2}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le225/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(15\pm\sqrt{225-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=15\pi\sqrt{225-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{16875}{2}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{435}{946}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=225/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-225/t=-225(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{225}=2,\quad(2t,0),(0,450/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(2t\) と \(450/t\)。その積が \(900\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{450} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+450/t\ge60\)。等号は \(t=15\) のとき。

\[ \boxed{\min=60,\quad P=(15,15)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-225)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-15\ \text{または}\ t\ge15} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>15} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

解の積は \(225\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{225}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。