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立命館大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第073回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=4,\ a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

第2問　二次関数の頂点・解・不等式（25点）

実数全体で \(f(x)=x^2-6x+6\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）

第3問　余弦定理・面積・正弦定理（25点）

三角形ABCでAB=3、AC=6、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（7点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（7点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（11点）

第4問　抽出方法と条件付き確率（25点）

袋に赤玉 \(3\) 個、青玉 \(6\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(3\) なので \(a_{n+1}-a_n=3^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{3^n-1}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(3-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{3(3^n-1)-2n}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=3a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-3a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-3)^2-3\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-3,\quad x=3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\((x-3)^2=3\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=3\pm\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{3-\sqrt{3}\le x\le 3+\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で \(BC^2=9+36-36\cos60^\circ\)。

\[ \boxed{3\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{9}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{3} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((3-1)/(9-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{1}{12}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{6(6-1)}{9(9-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{1}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(3-1)<15-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{1}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。