立命館大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第039回
この回のテストポイント
- 第1問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第2問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第3問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第4問：反復試行と条件付き確率
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）
\(a_1=32,\ a_{n+1}=2a_n+32\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）
第2問 二次関数の頂点・解・不等式（25点）
実数全体で \(f(x)=x^2-64x+992\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）
第3問 円の弦と三角形の面積の最大化（25点）
円 \\(x^2+y^2=1024\\) の内部の点 \(Q(16,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）
第4問 反復試行と条件付き確率（25点）
公平な硬貨を32回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+32=2(a_n+32)\) なので \(a_n+32=64\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a_j/2^j=32(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-32)^2-32\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\((x-32)^2=32\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=16\) を円の式に代入する。\\(y^2=768\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
直線は \(mx-y-16m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{1024m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{1024-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le32/2\)。面積の2乗は \(d^2(1024-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(1024-s)\) は \(0\le s\le1024/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(32\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。