立命館大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第032回
この回のテストポイント
- 第1問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第2問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第3問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第4問：非復元抽出の組合せと期待値
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三次関数の増減・接線・定積分（25点）
\(f(x)=x^3-60x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）\(x=20\) における接線を求めなさい。（7点）
（3）\(\int_0^{60} f(x)\,dx\) を求めなさい。（11点）
第2問 二次関数の頂点・解・不等式（25点）
実数全体で \(f(x)=x^2-40x+380\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）
第3問 円の弦と三角形の面積の最大化（25点）
円 \\(x^2+y^2=400\\) の内部の点 \(Q(10,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）
第4問 非復元抽出の組合せと期待値（25点）
袋に赤玉40個、青玉20個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（7点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（7点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-40)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=40で極小。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
傾きは \(-1200\)、接点のy座標は \(-16000\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-20)^2-20\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\((x-20)^2=20\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=10\) を円の式に代入する。\\(y^2=300\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
直線は \(mx-y-10m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{400m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{400-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le20/2\)。面積の2乗は \(d^2(400-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(400-s)\) は \(0\le s\le400/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。