立命館大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第020回
この回のテストポイント
- 第1問：等差数列の一般項・和・境界
- 第2問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第3問：余弦定理・面積・正弦定理
- 第4問：完全順列の漸化式と固定点
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 等差数列の一般項・和・境界（25点）
初項6、公差2の等差数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(a_n\ge 18\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（11点）
第2問 二次関数の頂点・解・不等式（25点）
実数全体で \(f(x)=x^2-12x+30\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）
第3問 余弦定理・面積・正弦定理（25点）
三角形ABCでAB=6、AC=12、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（7点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（11点）
第4問 完全順列の漸化式と固定点（25点）
\(6\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（7点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（7点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 等差数列の一般項・和・境界
（1）
初項に公差のn−1倍を加える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
初項と末項の平均に項数を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-6)^2-6\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\((x-6)^2=6\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で \(BC^2=36+144-144\cos60^\circ\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{6}=265\)。全割当ては \(6!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/6\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。