立教大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第001回
この回のテストポイント
- 第1問：停止する試行と期待値の連立
- 第2問：回転軸を変える体積計算
- 第3問：三次方程式の実数解の個数
- 第4問：等比数列と奇数番目の項の和
- 第5問：空間の垂線と四面体
- 第6問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 停止する試行と期待値の連立（17点）
表の確率が \(1/12\)、裏の確率が \(11/12\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。
（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）
（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）
（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）
第2問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le12\) で曲線 \(y=x(12-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第3問 三次方程式の実数解の個数（17点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-432x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）
第4問 等比数列と奇数番目の項の和（17点）
初項12、公比2の等比数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（7点）
第5問 空間の垂線と四面体（16点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（4点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（4点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）
第6問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）
複素数zが \(|z-12|=2|z+12|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）
解答・解説
第1問 停止する試行と期待値の連立
（1）
2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(p=1/12,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
1回の表までの平均は \(12\) 回なので合計2回の表までの平均は \(24\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{12}x(12-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(12-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le144/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(12\pm\sqrt{144-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-12)(x+12)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-12\) で極大、\(x=12\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a=3456\) では \(f(x)-a=(x-24)(x+12)^2\)。\(a=-3456\) では \(f(x)-a=(x+24)(x-12)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 等比数列と奇数番目の項の和
（1）
初項に公比のn−1乗を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=72\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
底面OABの面積は \(144\)、Cからこの底面までの高さは \(36\) なので体積は \(1728\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-12)^2+y^2=4((x+12)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
原点から中心までの距離は \(60/3\)、半径は \(48/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-12w|=2|1+12w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。