立教大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第057回
この回のテストポイント
- 第1問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第2問：絶対値の和と場合分け
- 第3問：整数を選ぶ確率と条件付き確率
- 第4問：線分上の点と内積・最大最小
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三次関数の増減・接線・定積分（25点）
\(f(x)=x^3-36x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）\(x=12\) における接線を求めなさい。（7点）
（3）\(\int_0^{36} f(x)\,dx\) を求めなさい。（11点）
第2問 絶対値の和と場合分け（25点）
\(f(x)=|x-12|+|x+12|\) とする。
（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（7点）
（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（7点）
（3）不等式 \(f(x)\le 36\) を解きなさい。（11点）
第3問 整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）
1から24までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを12より大きい数が出る事象とする。
（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）
（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）
（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）
第4問 線分上の点と内積・最大最小（25点）
\(O(0,0),B(24,0),C(0,12)\) とする。Pは線分BC上を動く。
（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（7点）
（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（7点）
（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-24)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=24で極小。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
傾きは \(-432\)、接点のy座標は \(-3456\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 絶対値の和と場合分け
（1）
符号が変わる点は \(-12,12\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の外側で \(-2x\le 36\)、\(2x\le 36\)。中央の区間はすべて条件を満たす。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 整数を選ぶ確率と条件付き確率
（1）
偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
共通部分の偶数の個数は \(12-\lfloor12/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 線分上の点と内積・最大最小
（1）
\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-24,12)\) とOPの内積は0。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
長方形の面積は \(288t(1-t)=72-288(t-1/2)^2\)。端点では面積0、内部の頂点で最大。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。