立教大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第047回
この回のテストポイント
- 第1問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第2問：三次方程式の実数解の個数
- 第3問：委員選出と余事象の数え上げ
- 第4問：等周条件と三角形の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三次関数の増減・接線・定積分（25点）
\(f(x)=x^3-72x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）\(x=24\) における接線を求めなさい。（7点）
（3）\(\int_0^{72} f(x)\,dx\) を求めなさい。（11点）
第2問 三次方程式の実数解の個数（25点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-1728x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（7点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（11点）
第3問 委員選出と余事象の数え上げ（25点）
男子24人、女子24人から、区別のない委員3人を選ぶ。
（1）すべての選び方の数を求めなさい。（7点）
（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（7点）
（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（11点）
第4問 等周条件と三角形の面積（25点）
周の長さが \(144\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-48)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=48で極小。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
傾きは \(-1728\)、接点のy座標は \(-27648\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-24)(x+24)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-24\) で極大、\(x=24\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a=27648\) では \(f(x)-a=(x-48)(x+24)^2\)。\(a=-27648\) では \(f(x)-a=(x+48)(x-24)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 委員選出と余事象の数え上げ
（1）
全員から3人を選ぶ組合せを用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=144-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=72(72-a)^2(2a-72)\)。微分すると \((S^2)'=432(72-a)(48-a)\)。存在範囲で \(a=48\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
半周長は \(72\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=72r\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。