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立教大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第043回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）

\(a_1=23,\ a_{n+1}=2a_n+23\) で定まる数列を考える。

（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）

第2問　絶対値の和と場合分け（25点）

\(f(x)=|x-23|+|x+23|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（7点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（7点）

（3）不等式 \(f(x)\le 69\) を解きなさい。（11点）

第3問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（25点）

1から46までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを23より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（7点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（7点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（11点）

第4問　円の弦と三角形の面積の最大化（25点）

円 \\(x^2+y^2=529\\) の内部の点 \(Q(\frac{23}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。

（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）

（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）

（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　固定点を引く漸化式と重み付きの和

（1）

\(a_{n+1}+23=2(a_n+23)\) なので \(a_n+23=46\cdot2^{n-1}\)。

\[ \boxed{a_n=23(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。

\[ \boxed{S_n=23(2^{n+1}-n-2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(a_j/2^j=23(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。

\[ \boxed{23(n-1+2^{-n})} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-23,23\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-23\\46&-23\le x\le23\\2x&x>23\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=46,\quad -23\le x\le23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 69\)、\(2x\le 69\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{69}{2}\le x\le \frac{69}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(23-\lfloor23/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{6}{23}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{12}{23},\quad\text{独立ではない}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　円の弦と三角形の面積の最大化

（1）

\(x=\frac{23}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{1587}{4}\\)。

\[ \boxed{(\frac{23}{2},\pm \frac{23}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

直線は \(mx-y-\frac{23}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{529m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{529-d^2}\)。

\[ \boxed{AB=23\sqrt{\frac{4+3m^2}{1+m^2}}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

直線がQを通るので \(0\le d\le23/2\)。面積の2乗は \(d^2(529-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(529-s)\) は \(0\le s\le529/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。

\[ \boxed{\max S=\frac{529}{4}\sqrt{3},\quad x=\frac{23}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。