大阪大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第087回
この回のテストポイント
- 第1問：指数関数の最大値と積分の極限
- 第2問：等周条件と三角形の面積
- 第3問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第4問：三項間漸化式と互いに素の証明
- 第5問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
- 第6問：完全順列の漸化式と固定点
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 指数関数の最大値と積分の極限（17点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-17x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）
第2問 等周条件と三角形の面積（17点）
周の長さが \(102\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（5点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（5点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（7点）
第3問 三角関数を二次関数に置き換える（17点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=17\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）
第4問 三項間漸化式と互いに素の証明（17点）
とする。
（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（7点）
第5問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）
複素数zが \(|z-17|=2|z+17|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）
第6問 完全順列の漸化式と固定点（16点）
\(17\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（4点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（4点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-17x}(1-17x)\)。指数因子は正なので \(x=1/17\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{17x+1}{289}e^{-17x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(e^{-17a}\) と \(ae^{-17a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=102-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=51(51-a)^2(2a-51)\)。微分すると \((S^2)'=306(51-a)(34-a)\)。存在範囲で \(a=34\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
半周長は \(51\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=51r\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=17\)、\(f(1)=-16\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(t-34t^2=0\) の解は0と \(1/34\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 三項間漸化式と互いに素の証明
（1）
。初めの差は \(17\) なので \(a_{n+1}-a_n=17^n\)。初項に差の和を加える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入して \(1/(17-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一般項から \(a_{n+1}=17a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-17a_n=1\) を割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-17)^2+y^2=4((x+17)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
原点から中心までの距離は \(85/3\)、半径は \(68/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-17w|=2|1+17w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると \(D_{17}=130850092279664\)。全割当ては \(17!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/17\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。