大阪大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第079回
この回のテストポイント
- 第1問：回転軸を変える体積計算
- 第2問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第3問：三角関数を二次関数に置き換える
- 第4問：逆数で線形化し差を足す
- 第5問：楕円の接線と切片・回転体
- 第6問：完全順列の漸化式と固定点
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le28\) で曲線 \(y=x(28-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化（17点）
円 \\(x^2+y^2=784\\) の内部の点 \(Q(14,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）
第3問 三角関数を二次関数に置き換える（17点）
\(0\le\theta\le\pi/2\) で
とする。
（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（5点）
（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（5点）
（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=28\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（7点）
第4問 逆数で線形化し差を足す（17点）
で数列を定める。
（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（7点）
第5問 楕円の接線と切片・回転体（16点）
楕円
の第1象限の点 \(P(56\cos t,28\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）
第6問 完全順列の漸化式と固定点（16点）
\(28\) 人が各自の帽子を無作為に1個ずつ受け取る。すべての割当ては同様に確からしい。n人の誰も自分の帽子を受け取らない割当ての個数をD_nとし、\(D_0=1,D_1=0\) とする。
（1）1人目の帽子の行き先に着目し、完全順列の個数の漸化式を導きなさい。（4点）
（2）全員が自分以外の帽子を受け取る確率を求めなさい。（4点）
（3）自分の帽子を受け取った人数の期待値を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{28}x(28-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(28-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le784/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(28\pm\sqrt{784-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=14\) を円の式に代入する。\\(y^2=588\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-14m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{784m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{784-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le28/2\)。面積の2乗は \(d^2(784-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(784-s)\) は \(0\le s\le784/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 三角関数を二次関数に置き換える
（1）
\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
平方完成より
。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=28\)、\(f(1)=-27\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(t-56t^2=0\) の解は0と \(1/56\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 逆数で線形化し差を足す
（1）
初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
漸化式から
。和をとると中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切片は \(56/\cos t\)、\(28/\sin t\)。面積は \(784/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(784\(1-x^2/3136\)\)。\(-56\le x\le56\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 完全順列の漸化式と固定点
（1）
1人目に渡す帽子の元の持ち主をjとする。jの選び方はn-1通り。jが1人目の帽子を受け取る場合は残りn-2人の完全順列。受け取らない場合は、1人目とjの関係を縮めたn-1人の完全順列と1対1に対応する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
初期値から前問の漸化式を順に計算すると
。全割当ては \(28!\) 通り。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
人iが自分の帽子を受け取ったとき1、そうでないとき0の変数をX_iとする。\(E[X_i]=1/28\)。人数はその和であり、独立でなくても期待値は加算できる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。