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大阪大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第023回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　放物線の接線と囲まれた面積（25点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-361)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（7点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（7点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（11点）

第2問　三角関数を二次関数に置き換える（25点）

\(0\le\theta\le\pi/2\) で

\[ f(\theta)=\sin\theta+19\cos2\theta \]

とする。

（1）正弦の値を新しい変数にして、二次関数で表しなさい。新しい変数の範囲も書きなさい。（7点）

（2）最大値と最小値、およびそれらをとる条件を求めなさい。（7点）

（3）開区間 \(0<\theta<\pi/2\) で \(f(\theta)=19\) を満たす角がただ1つであることを示し、正弦の値を求めなさい。（11点）

第3問　反復試行と条件付き確率（25点）

公平な硬貨を19回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=20,\ a_{n+2}=20a_{n+1}-19a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=361\)。

\[ \boxed{y=38x-361,\quad y=-38x-361} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

接点は \((\pm19,361)\)。底辺の長さは \(38\)、Pから底辺までの高さは \(722\)。

\[ \boxed{13718} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-19)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{19}(x-19)^2\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{13718}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　三角関数を二次関数に置き換える

（1）

\(t=\sin\theta\) とすると \(\cos2\theta=1-2t^2\)。元の角の範囲より \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{f=19+t-38t^2,\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

平方完成より

\[ f=19+\frac1{152}-38(t-\frac1{76})^2 \]

。頂点は区間内にある。上に凸の放物線なので、最小は両端を比較する。\(f(0)=19\)、\(f(1)=-18\)。

\[ \boxed{\max f=\frac{2889}{152}\ (\sin\theta=\frac1{76}),\quad\min f=-18\ (\theta=\pi/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

\(t-38t^2=0\) の解は0と \(1/38\)。開区間では0を除く。正弦はこの角の区間で狭義単調増加なので、対応する角もただ1つ。

\[ \boxed{\sin\theta=\frac1{38}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(19\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{171}{524288}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{524287}{524288}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{171}{524287}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=19(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(19\) なので \(a_{n+1}-a_n=19^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{19^n-1}{18}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(19-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{19(19^n-1)-18n}{324}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=19a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-19a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。