大阪公立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第080回
この回のテストポイント
- 第1問：区分求積と和の極限
- 第2問：反復試行と条件付き確率
- 第3問：対数の真数条件と単調性
- 第4問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第5問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
- 第6問：データの変換と分散
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 区分求積と和の極限（17点）
正の整数nについて、
、
とする。
（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）
（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）
（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）
第2問 反復試行と条件付き確率（17点）
公平な硬貨を13回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）
第3問 対数の真数条件と単調性（17点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-13)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（5点）
（2）\(F(x)=\log_2 338\) を解きなさい。（5点）
（3）\(F(x)\le\log_2 338\) を解きなさい。（7点）
第4問 円の弦と三角形の面積の最大化（17点）
円 \\(x^2+y^2=169\\) の内部の点 \(Q(\frac{13}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）
第5問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）
複素数zが \(|z-13|=2|z+13|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）
第6問 データの変換と分散（16点）
5個のデータは \(11,12,13,14,15\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。
（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（4点）
（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（4点）
（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（8点）
解答・解説
第1問 区分求積と和の極限
（1）
\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{13+x}\)、
は \(g(x)=1/(13+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(13\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-13)=338\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=\frac{13}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{507}{4}\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-\frac{13}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{169m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{169-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le13/2\)。面積の2乗は \(d^2(169-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(169-s)\) は \(0\le s\le169/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-13)^2+y^2=4((x+13)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
原点から中心までの距離は \(65/3\)、半径は \(52/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-13w|=2|1+13w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 データの変換と分散
（1）
平均は中央の \(13\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。