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大阪公立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第006回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{24}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{25}\) を求めなさい。（7点）

第2問　委員選出と余事象の数え上げ（17点）

男子12人、女子12人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）

第3問　固定点を引く漸化式と重み付きの和（17点）

\(a_1=12,\ a_{n+1}=2a_n+12\) で定まる数列を考える。

（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（7点）

第4問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(12,0)、半径がともに12の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第5問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（16点）

複素数zが \(|z-12|=2|z+12|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（4点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（4点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（8点）

第6問　データの変換と分散（16点）

5個のデータは \(10,11,12,13,14\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。

（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（4点）

（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（4点）

（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(12\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{676039}{8388608}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(12\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{4194304}{16900975}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{2024} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{792} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{1584} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　固定点を引く漸化式と重み付きの和

（1）

\(a_{n+1}+12=2(a_n+12)\) なので \(a_n+12=24\cdot2^{n-1}\)。

\[ \boxed{a_n=12(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。

\[ \boxed{S_n=12(2^{n+1}-n-2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a_j/2^j=12(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。

\[ \boxed{12(n-1+2^{-n})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(6\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(6,6\sqrt{3}),\quad Q=(6,-6\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{12\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{36\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-12)^2+y^2=4((x+12)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+20)^2+y^2=256} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

原点から中心までの距離は \(60/3\)、半径は \(48/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=36\ (z=-36),\quad\min|z|=4\ (z=-4)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-12w|=2|1+12w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{5}{36})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{1}{81}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　データの変換と分散

（1）

平均は中央の \(12\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。

\[ \boxed{\bar x=12,\quad V_x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。

\[ \boxed{\bar y=27,\quad V_y=8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。

\[ \boxed{r=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。