大阪公立大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第003回
この回のテストポイント
- 第1問：回転軸を変える体積計算
- 第2問：抽出方法と条件付き確率
- 第3問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第4問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第5問：1の累乗根と積・距離の和
- 第6問：対数方程式の存在条件
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 回転軸を変える体積計算（17点）
\(0\le x\le26\) で曲線 \(y=x(26-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。
（1）Dの面積を求めなさい。（5点）
（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）
（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）
第2問 抽出方法と条件付き確率（17点）
袋に赤玉 \(26\) 個、青玉 \(52\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（17点）
\(a_1=26,\ a_{n+1}=2a_n+26\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（5点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（7点）
第4問 円の弦と三角形の面積の最大化（17点）
円 \\(x^2+y^2=676\\) の内部の点 \(Q(13,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）
第5問 1の累乗根と積・距離の和（16点）
方程式 \(z^26=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{25}\) とし、\(z_0=1\) とする。
（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（4点）
（2）\(\sum_{j=0}^{25}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（4点）
（3）\(\prod_{j=1}^{25}(1-z_j)\) を求めなさい。（8点）
第6問 対数方程式の存在条件（16点）
\(\log_2 x+\log_2(26-x)=a\) を考える。\(a\) は実数である。
（1）真数条件を示し、実数解が存在するための必要十分条件を求めなさい。（4点）
（2）実数解の個数を場合分けして求めなさい。（4点）
（3）\(a=\log_2 \frac{507}{4}\) のとき、すべての解を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 回転軸を変える体積計算
（1）
非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{26}x(26-x)\,dx\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切り口は半径 \(x(26-x)\) の円。
。展開して項別に積分する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(0\le y\le676/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(26\pm\sqrt{676-4y})/2\)。切り口は環で、面積は
。これをyについて積分する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((26-1)/(78-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{52(52-1)}{78(78-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(26-1)<130-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+26=2(a_n+26)\) なので \(a_n+26=52\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a_j/2^j=26(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=13\) を円の式に代入する。\\(y^2=507\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-13m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{676m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{676-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le26/2\)。面積の2乗は \(d^2(676-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(676-s)\) は \(0\le s\le676/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 1の累乗根と積・距離の和
（1）
単位円を \(26\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{25}\) の係数から解の和が0と分かる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(|z_j|=1\) なので
。前問の和を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{25}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 対数方程式の存在条件
（1）
真数条件は \(0<x<26\)。\(x(26-x)=676/4-(x-26/2)^2\) なので、この積の値域は \((0,676/4]\)。対数の底が1より大きいことを使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
積が最大値より小さい正の値なら頂点の左右に1解ずつ、最大値なら頂点に1解、それを超えれば解はない。対数の真数条件も満たす。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(x(26-x)=\frac{507}{4}\) を解く。2つの解の和は \(26\)、積は右辺。得られた解が真数条件に入ることを確認する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。