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大阪医科薬科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第095回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　剰余定理と三次式の因数分解（17点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(27)=0\)、\(P(-27)=39366\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（5点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）

（3）P(x)を \(x-54\) で割った余りを求めなさい。（7点）

第2問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{54}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{55}\) を求めなさい。（7点）

第3問　放物線の接線と囲まれた面積（17点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-729)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（5点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（7点）

第4問　抽出方法と条件付き確率（17点）

袋に赤玉 \(27\) 個、青玉 \(54\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。

（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）

（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）

（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）

第5問　三項間漸化式と互いに素の証明（16点）

\[ a_1=1,\ a_2=28,\ a_{n+2}=28a_{n+1}-27a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（8点）

第6問　双曲線の接線と不変な面積（16点）

第1象限の双曲線 \\(xy=729\\) 上の点 \(P(t,729/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-1458,\quad b=19683} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(P(x)=(x-27)\(x^2+27x-729\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=27,\frac{27}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{98415} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(27\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{121683714103007}{2251799813685248}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(27\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{1125899906842624}{6692604275665385}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=729\)。

\[ \boxed{y=54x-729,\quad y=-54x-729} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

接点は \((\pm27,729)\)。底辺の長さは \(54\)、Pから底辺までの高さは \(1458\)。

\[ \boxed{39366} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-27)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{27}(x-27)^2\,dx\)。

\[ \boxed{13122} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　抽出方法と条件付き確率

（1）

最初の赤の確率は1/3、2個目は \((27-1)/(81-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。

\[ \boxed{\frac{13}{120}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{54(54-1)}{81(81-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。

\[ \boxed{\frac{13}{67}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(27-1)<135-1\) を用いる。

\[ \boxed{\frac15>\frac{13}{67}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=27(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(27\) なので \(a_{n+1}-a_n=27^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{27^n-1}{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

一般項を代入して \(1/(27-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{27(27^n-1)-26n}{676}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=27a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-27a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=729/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-729/t=-729(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{729}=2,\quad(2t,0),(0,1458/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1458/t\)。その積が \(2916\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1458} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1458/t\ge108\)。等号は \(t=27\) のとき。

\[ \boxed{\min=108,\quad P=(27,27)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。