大阪医科薬科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第067回
この回のテストポイント
- 第1問：三次方程式の実数解の個数
- 第2問：対数の評価と部分積分
- 第3問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第4問：反復試行と条件付き確率
- 第5問：逆数で線形化し差を足す
- 第6問：双曲線の接線と不変な面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三次方程式の実数解の個数（17点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-1875x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）
第2問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le25\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第3問 円の弦と三角形の面積の最大化（17点）
円 \\(x^2+y^2=625\\) の内部の点 \(Q(\frac{25}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）
第4問 反復試行と条件付き確率（17点）
公平な硬貨を25回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）
第5問 逆数で線形化し差を足す（16点）
で数列を定める。
（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（4点）
（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（4点）
（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（8点）
第6問 双曲線の接線と不変な面積（16点）
第1象限の双曲線 \\(xy=625\\) 上の点 \(P(t,625/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-25)(x+25)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-25\) で極大、\(x=25\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a=31250\) では \(f(x)-a=(x-50)(x+25)^2\)。\(a=-31250\) では \(f(x)-a=(x+50)(x-25)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<25\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=\frac{25}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{1875}{4}\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-\frac{25}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{625m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{625-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le25/2\)。面積の2乗は \(d^2(625-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(625-s)\) は \(0\le s\le625/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(25\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 逆数で線形化し差を足す
（1）
初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
漸化式から
。和をとると中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=625/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-625/t=-625(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切片は \(2t\) と \(1250/t\)。その積が \(2500\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+1250/t\ge100\)。等号は \(t=25\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。