大阪医科薬科大学 看護学部・数学I・A 数学記述模試 第016回
この回のテストポイント
- 第1問：三角比と扇形の面積
- 第2問：非復元抽出の組合せと期待値
- 第3問：直角三角形の三角比と内接円
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・Aに絞り、二次関数・データの分析・三角比・場合の数と確率を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 三角比と扇形の面積（34点）
半径18、中心角120°の扇形OABを考える。
（1）弧ABの長さを求めなさい。（10点）
（2）扇形の面積を求めなさい。（10点）
（3）弧と弦に囲まれる弓形の面積を求めなさい。（14点）
第2問 非復元抽出の組合せと期待値（33点）
袋に赤玉36個、青玉18個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（9点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（9点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（15点）
第3問 直角三角形の三角比と内接円（33点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=18、AC=36とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（9点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（9点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（15点）
解答・解説
第1問 三角比と扇形の面積
（1）
中心角は円周全体の1/3なので円周の1/3をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（2）
扇形の面積も円の面積の1/3となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（3）
扇形から三角形OABの面積を引く。三角形の面積は半径の2乗と120°の正弦の積の半分。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に7点。
第2問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。
第3問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
面積は \(324\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。