大阪医科薬科大学 看護学部・数学I・A 数学記述模試 第009回
この回のテストポイント
- 第1問：解と係数の関係と対称式
- 第2問：非復元抽出の組合せと期待値
- 第3問：直角三角形の三角比と内接円
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。数学I・Aに絞り、二次関数・データの分析・三角比・場合の数と確率を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 解と係数の関係と対称式（34点）
方程式 \\(x^2-48x+512=0\\) の2解をα,βとする。
（1）2解を求めなさい。（10点）
（2）解の2乗の和を求めなさい。（10点）
（3）解の差の絶対値と逆数の和を求めなさい。（14点）
第2問 非復元抽出の組合せと期待値（33点）
袋に赤玉32個、青玉16個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。
（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（9点）
（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（9点）
（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（15点）
第3問 直角三角形の三角比と内接円（33点）
直角三角形ABCで角Aが直角、AB=16、AC=32とする。
（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（9点）
（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（9点）
（3）内接円の半径を求めなさい。（15点）
解答・解説
第1問 解と係数の関係と対称式
（1）
\((x-16)(x-32)=0\) と因数分解する。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（2）
解の和の2乗から解の積の2倍を引いても計算できる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に5点。
（3）
2解を代入し、差の絶対値をとる。逆数の和は解の和を積で割る。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に7点。
第2問 非復元抽出の組合せと期待値
（1）
色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。
第3問 直角三角形の三角比と内接円
（1）
三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（2）
面積は \(256\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に5点。
（3）
内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に7点、結論と条件の確認に8点。