岡山大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第092回
この回のテストポイント
- 第1問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第2問：三次方程式の実数解の個数
- 第3問：対数の評価と部分積分
- 第4問：停止する試行と期待値の連立
- 第5問：楕円の接線と切片・回転体
- 第6問：対数の真数条件と単調性
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 円の弦と三角形の面積の最大化（17点）
円 \\(x^2+y^2=400\\) の内部の点 \(Q(10,0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）
第2問 三次方程式の実数解の個数（17点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-1200x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）
第3問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le20\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第4問 停止する試行と期待値の連立（17点）
表の確率が \(1/20\)、裏の確率が \(19/20\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。
（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）
（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）
（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）
第5問 楕円の接線と切片・回転体（16点）
楕円
の第1象限の点 \(P(40\cos t,20\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。
（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）
（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）
第6問 対数の真数条件と単調性（16点）
\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-20)\) を考える。
（1）定義域を求めなさい。（4点）
（2）\(F(x)=\log_2 800\) を解きなさい。（4点）
（3）\(F(x)\le\log_2 800\) を解きなさい。（8点）
解答・解説
第1問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=10\) を円の式に代入する。\\(y^2=300\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-10m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{400m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{400-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le20/2\)。面積の2乗は \(d^2(400-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(400-s)\) は \(0\le s\le400/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-20)(x+20)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-20\) で極大、\(x=20\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a=16000\) では \(f(x)-a=(x-40)(x+20)^2\)。\(a=-16000\) では \(f(x)-a=(x+40)(x-20)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<20\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 停止する試行と期待値の連立
（1）
2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(p=1/20,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
1回の表までの平均は \(20\) 回なので合計2回の表までの平均は \(40\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 楕円の接線と切片・回転体
（1）
楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
切片は \(40/\cos t\)、\(20/\sin t\)。面積は \(400/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
切り口の半径の2乗は \(400\(1-x^2/1600\)\)。\(-40\le x\le40\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 対数の真数条件と単調性
（1）
2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
積の対数にまとめると \(x(x-20)=800\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。