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岡山大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第080回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(26,1),\ \mathbf b=(1,26) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第2問　三次方程式の実数解の個数（17点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2028x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）

第3問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{26+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{26n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第4問　集合の包含と人数の計算（17点）

130人のクラスで、集合Aの人数は78人、集合Bは52人、両方に属する人数は26人とする。

（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（5点）

（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（5点）

（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（7点）

第5問　双曲線の接線と不変な面積（16点）

第1象限の双曲線 \\(xy=676\\) 上の点 \(P(t,676/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（4点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（8点）

第6問　対数の真数条件と単調性（16点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-26)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（4点）

（2）\(F(x)=\log_2 1352\) を解きなさい。（4点）

（3）\(F(x)\le\log_2 1352\) を解きなさい。（8点）

解答・解説

第1問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=52,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{677}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{52}{677}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=677t^2-104t+677 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{455625}{677},\quad t=\frac{52}{677}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-26)(x+26)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-26\) で極大、\(x=26\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }35152,\quad\text{極小値 }-35152} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-35152<a<35152} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a=35152\) では \(f(x)-a=(x-52)(x+26)^2\)。\(a=-35152\) では \(f(x)-a=(x+52)(x-26)^2\)。

\[ \boxed{a=35152:x=-26,52;\quad a=-35152:x=-52,26} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{26+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{26+j/n} \]

は \(g(x)=1/(26+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{26+x}\,dx=[\frac23(26+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(81\sqrt{3}-26\sqrt{26})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{26+x}\,dx=[\log(26+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{27}{26}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　集合の包含と人数の計算

（1）

AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。

\[ \boxed{104} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

全体から和集合の人数を引く。

\[ \boxed{26} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

和集合から共通部分を引く。

\[ \boxed{78} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=676/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-676/t=-676(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{676}=2,\quad(2t,0),(0,1352/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1352/t\)。その積が \(2704\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1352} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1352/t\ge104\)。等号は \(t=26\) のとき。

\[ \boxed{\min=104,\quad P=(26,26)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>26} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-26)=1352\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=52} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{26<x\le52} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。