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岡山大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第029回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　放物線の接線と囲まれた面積（17点）

放物線 \\(y=x^2\\) と、点 \(P(0,-729)\) を考える。

（1）この点を通る放物線の接線をすべて求めなさい。（5点）

（2）2つの接点と点Pでできる三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積を求めなさい。（7点）

第2問　絶対値の和と場合分け（17点）

\(f(x)=|x-27|+|x+27|\) とする。

（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（5点）

（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（5点）

（3）不等式 \(f(x)\le 81\) を解きなさい。（7点）

第3問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le27\) で曲線 \(y=x(27-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第4問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を27回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第5問　楕円の接線と切片・回転体（16点）

楕円

\[ \frac{x^2}{2916}+\frac{y^2}{729}=1 \]

の第1象限の点 \(P(54\cos t,27\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（4点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（4点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（8点）

第6問　逆数で線形化し差を足す（16点）

\[ a_1=1/27,\ a_{n+1}=a_n/(1+a_n) \]

で数列を定める。

（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（4点）

（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（4点）

（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　放物線の接線と囲まれた面積

（1）

接点の横座標を \(t\) とすると接線は \(y=2tx-t^2\)。Pを通る条件から \(t^2=729\)。

\[ \boxed{y=54x-729,\quad y=-54x-729} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

接点は \((\pm27,729)\)。底辺の長さは \(54\)、Pから底辺までの高さは \(1458\)。

\[ \boxed{39366} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の対称性を使う。右半分では放物線が接線の上にあり、差は \((x-27)^2\)。したがって \(S=2\int_0^{27}(x-27)^2\,dx\)。

\[ \boxed{13122} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　絶対値の和と場合分け

（1）

符号が変わる点は \(-27,27\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。

\[ \boxed{f(x)=\begin{cases}-2x&x<-27\\54&-27\le x\le27\\2x&x>27\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。

\[ \boxed{\min f=54,\quad -27\le x\le27} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

左右の外側で \(-2x\le 81\)、\(2x\le 81\)。中央の区間はすべて条件を満たす。

\[ \boxed{-\frac{81}{2}\le x\le \frac{81}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{27}x(27-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{6561}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(27-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{27}x^2(27-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{4782969}{10}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le729/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(27\pm\sqrt{729-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=27\pi\sqrt{729-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{177147}{2}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(27\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{351}{134217728}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{134217727}{134217728}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{351}{134217727}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{54}+\frac{y\sin t}{27}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

切片は \(54/\cos t\)、\(27/\sin t\)。面積は \(729/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1458,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(729\(1-x^2/2916\)\)。\(-54\le x\le54\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{52488\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　逆数で線形化し差を足す

（1）

初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+26}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

漸化式から

\[ a_j-a_{j+1}=a_j^2/(1+a_j)=a_ja_{j+1} \]

。和をとると中間の項が消える。

\[ \boxed{\frac1{27}-\frac1{n+27}=\frac{n}{27(n+27)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。

\[ \boxed{\frac{n+27}{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。