岡山大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第094回
この回のテストポイント
- 第1問：反射による経路の数え上げ
- 第2問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第3問：絶対値の和と場合分け
- 第4問：重解を使う三次曲線の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 反射による経路の数え上げ（25点）
数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(30\) 回動かす。
（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（7点）
（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（7点）
（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（11点）
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化（25点）
円 \\(x^2+y^2=225\\) の内部の点 \(Q(\frac{15}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（7点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（7点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（11点）
第3問 絶対値の和と場合分け（25点）
\(f(x)=|x-15|+|x+15|\) とする。
（1）絶対値を外し、区間で場合分けして表しなさい。（7点）
（2）最小値と、その値をとるすべてのxを求めなさい。（7点）
（3）不等式 \(f(x)\le 45\) を解きなさい。（11点）
第4問 重解を使う三次曲線の面積（25点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-675x\) の \(x=15\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 反射による経路の数え上げ
（1）
右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(15\) 回。右への移動の位置を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(16\) 回、左が \(14\) 回なので \(\binom{30}{14}\) 個。全体から差し引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{30}{15}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/16\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=\frac{15}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{675}{4}\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
直線は \(mx-y-\frac{15}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{225m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{225-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le15/2\)。面積の2乗は \(d^2(225-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(225-s)\) は \(0\le s\le225/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 絶対値の和と場合分け
（1）
符号が変わる点は \(-15,15\)。各区間でそれぞれの絶対値の中身の符号を調べる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
中央の区間では一定で、その外側では端点から離れるほど増加する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
左右の外側で \(-2x\le 45\)、\(2x\le 45\)。中央の区間はすべて条件を満たす。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(15)=0\) なので \(l:y=-6750\)。差は \((x-15)^2(x+30)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
区間 \([-30,15]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-\frac{675}{2}x^2+6750x\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。