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岡山大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第041回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　停止する試行と期待値の連立（25点）

表の確率が \(1/6\)、裏の確率が \(5/6\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（7点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（7点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（11点）

第2問　合同な2円の交点と共通弦（25点）

中心O(0,0)、A(6,0)、半径がともに6の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（7点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（11点）

第3問　定義域のある二次関数とパラメータ（25点）

\(0\le x\le 12\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+36\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明（25点）

\[ a_1=1,\ a_2=7,\ a_{n+2}=7a_{n+1}-6a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（7点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（11点）

解答・解説

第1問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{36},\quad P(T=3)=\frac{5}{216}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(p=1/6,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{42} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

1回の表までの平均は \(6\) 回なので合計2回の表までの平均は \(12\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=12,\quad\text{差}=30} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(3\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(3,3\sqrt{3}),\quad Q=(3,-3\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{6\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{9\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+36-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}36&t\le0\\36-t^2&0<t<12\\180-24t&t\ge12\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-6\le t\le 6\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le6} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

判別式より \(t>6\) または \(t<-6\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>6\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(12)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(180-24t\)。

\[ \boxed{6<t\le \frac{15}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=6(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(6\) なので \(a_{n+1}-a_n=6^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{6^n-1}{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

一般項を代入して \(1/(6-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{6(6^n-1)-5n}{25}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=6a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-6a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。