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岡山大学 文系・数学IIまで 数学記述模試 第037回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　委員選出と余事象の数え上げ（25点）

男子17人、女子17人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（7点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（7点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（11点）

第2問　合同な2円の交点と共通弦（25点）

中心O(0,0)、A(17,0)、半径がともに17の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（7点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（7点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（11点）

第3問　定義域のある二次関数とパラメータ（25点）

\(0\le x\le 34\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+289\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）

第4問　絶対値を含む面積の最適化（25点）

\(0\le a\le17\) とする。\(0\le x\le17\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。

（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（7点）

（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（7点）

（3）面積の最小値を求めなさい。（11点）

解答・解説

第1問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{5984} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{2312} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{4624} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第2問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(\frac{17}{2}\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(\frac{17}{2},\frac{17}{2}\sqrt{3}),\quad Q=(\frac{17}{2},-\frac{17}{2}\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{17\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{\frac{289}{4}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第3問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+289-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}289&t\le0\\289-t^2&0<t<34\\1445-68t&t\ge34\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-17\le t\le 17\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le17} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

判別式より \(t>17\) または \(t<-17\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>17\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(34)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(1445-68t\)。

\[ \boxed{17<t\le \frac{85}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。

第4問　絶対値を含む面積の最適化

（1）

差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le17\) では曲線が上。

\[ S=\int_0^a(ax-x^2)\,dx+\int_a^{17}(x^2-ax)\,dx \]

。

\[ \boxed{S(a)=\frac{a^3}3-\frac{289}{2}a+\frac{4913}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（2）

\(S'(a)=a^2-\frac{289}{2}\)。定義域内で \(a=17/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。

\[ \boxed{a=\frac{17}{2}\sqrt{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

（3）

前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。

\[ \boxed{S_{\min}=\frac{4913}{6}(2-\sqrt2)} \]

採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。