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お茶の水女子大学 理学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第086回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ（17点）

\(0\le x\le 32\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+256\) とする。\(t\) は実数である。

（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（5点）

（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（5点）

（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（7点）

第2問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(16,0)、半径がともに16の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第3問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le16\) で曲線 \(y=x(16-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第4問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=256\\) 上の点 \(P(t,256/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第5問　整数を選ぶ確率と条件付き確率（16点）

1から32までの整数が1枚ずつ書かれたカードから、1枚を等確率で選ぶ。Aを偶数が出る事象、Bを16より大きい数が出る事象とする。

（1）P(A),P(B)を求めなさい。（4点）

（2）P(A∩B)を求めなさい。（4点）

（3）P(A|B)を求め、AとBが独立かどうか判定しなさい。（8点）

第6問　三項間漸化式と互いに素の証明（16点）

\[ a_1=1,\ a_2=17,\ a_{n+2}=17a_{n+1}-16a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　定義域のある二次関数とパラメータ

（1）

平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+256-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。

\[ \boxed{\min f_t=\begin{cases}256&t\le0\\256-t^2&0<t<32\\1280-64t&t\ge32\end{cases}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-16\le t\le 16\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。

\[ \boxed{t\le16} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

判別式より \(t>16\) または \(t<-16\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>16\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(32)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(1280-64t\)。

\[ \boxed{16<t\le 20} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(8\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(8,8\sqrt{3}),\quad Q=(8,-8\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{16\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{64\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{16}x(16-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{2048}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(16-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{16}x^2(16-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{524288}{15}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le256/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(16\pm\sqrt{256-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=16\pi\sqrt{256-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{32768}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=256/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-256/t=-256(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{256}=2,\quad(2t,0),(0,512/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(512/t\)。その積が \(1024\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{512} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+512/t\ge64\)。等号は \(t=16\) のとき。

\[ \boxed{\min=64,\quad P=(16,16)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　整数を選ぶ確率と条件付き確率

（1）

偶数はk個、上半分の数もk個。全体は2k枚。

\[ \boxed{P(A)=P(B)=\frac12} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

共通部分の偶数の個数は \(16-\lfloor16/2\rfloor\)。全体の枚数で割る。

\[ \boxed{\frac{1}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

条件付き確率は共通部分の確率をP(B)で割る。これがP(A)=1/2と等しい条件を調べる。

\[ \boxed{P(A\mid B)=\frac{1}{2},\quad\text{独立である}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=16(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(16\) なので \(a_{n+1}-a_n=16^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{16^n-1}{15}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

一般項を代入して \(1/(16-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{16(16^n-1)-15n}{225}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=16a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-16a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。