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お茶の水女子大学 理学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第064回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-62x+930\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第2問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=31、AC=62、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le31\) で曲線 \(y=x(31-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第4問　双曲線の接線と不変な面積（17点）

第1象限の双曲線 \\(xy=961\\) 上の点 \(P(t,961/t)\)、\(t>0\) を考える。

（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）

（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）

第5問　反射による経路の数え上げ（16点）

数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(62\) 回動かす。

（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（4点）

（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（4点）

（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（8点）

第6問　三項間漸化式と互いに素の証明（16点）

\[ a_1=1,\ a_2=32,\ a_{n+2}=32a_{n+1}-31a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-31)^2-31\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-31,\quad x=31} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-31)^2=31\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=31\pm\sqrt{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{31-\sqrt{31}\le x\le 31+\sqrt{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で

\[ BC^2=961+3844-3844\cos60^\circ \]

。

\[ \boxed{31\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{961}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{31} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{31}x(31-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{29791}{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(31-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{31}x^2(31-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{28629151}{30}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le961/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(31\pm\sqrt{961-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=31\pi\sqrt{961-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{923521}{6}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　双曲線の接線と不変な面積

（1）

\(y=961/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-961/t=-961(x-t)/t^2\)。

\[ \boxed{\frac xt+\frac{yt}{961}=2,\quad(2t,0),(0,1922/t)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(2t\) と \(1922/t\)。その積が \(3844\) で一定なので、面積も一定となる。

\[ \boxed{1922} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

相加相乗平均より \(2t+1922/t\ge124\)。等号は \(t=31\) のとき。

\[ \boxed{\min=124,\quad P=(31,31)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　反射による経路の数え上げ

（1）

右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(31\) 回。右への移動の位置を選ぶ。

\[ \boxed{465428353255261088} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(32\) 回、左が \(30\) 回なので \(\binom{62}{30}\) 個。全体から差し引く。

\[ \boxed{14544636039226909} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{62}{31}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/32\)。

\[ \boxed{\frac{1}{32}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=31(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(31\) なので \(a_{n+1}-a_n=31^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{31^n-1}{30}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

一般項を代入して \(1/(31-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{31(31^n-1)-30n}{900}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=31a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-31a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。