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お茶の水女子大学 理学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第029回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　二次関数の頂点・解・不等式（17点）

実数全体で \(f(x)=x^2-30x+210\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（5点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（5点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（7点）

第2問　線分上の点と内積・最大最小（17点）

\(O(0,0),B(30,0),C(0,15)\) とする。Pは線分BC上を動く。

（1）Pを1つの実数パラメータで表し、その範囲を示しなさい。（5点）

（2）距離OPが最小になる点と最小距離を求めなさい。垂直性も確認しなさい。（5点）

（3）Pから2つの座標軸に垂線を下ろして作る長方形の面積の最大値を求めなさい。（7点）

第3問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{15+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{15n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第4問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=15,B=15i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　委員選出と余事象の数え上げ（16点）

男子15人、女子15人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（4点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（4点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（8点）

第6問　三項間漸化式と互いに素の証明（16点）

\[ a_1=1,\ a_2=16,\ a_{n+2}=16a_{n+1}-15a_n \]

とする。

（1）隣り合う項の差に着目して一般項を求めなさい。（4点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（4点）

（3）隣り合う2項が常に互いに素であることを証明しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-15)^2-15\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-15,\quad x=15} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\((x-15)^2=15\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=15\pm\sqrt{15}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{15-\sqrt{15}\le x\le 15+\sqrt{15}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　線分上の点と内積・最大最小

（1）

\(P=(1-t)B+tC\) とおく。線分上なので \(0\le t\le1\)。

\[ \boxed{P=(30(1-t),15t),\quad0\le t\le1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ OP^2=225(5t^2-8t+4)=5225(t-4/5)^2+4225/5 \]

。最小のtは区間内にあり、\(\overrightarrow{BC}=(-30,15)\) とOPの内積は0。

\[ \boxed{P=(6,12),\quad\min OP=6\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

長方形の面積は

\[ 450t(1-t)=\frac{225}{2}-450(t-1/2)^2 \]

。端点では面積0、内部の頂点で最大。

\[ \boxed{\max S=\frac{225}{2},\quad P=(15,\frac{15}{2})} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{15+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{15+j/n} \]

は \(g(x)=1/(15+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{15+x}\,dx=[\frac23(15+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(64-15\sqrt{15})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{15+x}\,dx=[\log(15+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{16}{15}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{15}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=15\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{225}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{5}{2}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=5\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{4060} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{1575} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{3150} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　三項間漸化式と互いに素の証明

（1）

\[ a_{n+2}-a_{n+1}=15(a_{n+1}-a_n) \]

。初めの差は \(15\) なので \(a_{n+1}-a_n=15^n\)。初項に差の和を加える。

\[ \boxed{a_n=\frac{15^n-1}{14}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

一般項を代入して \(1/(15-1)\) をくくり、等比数列の和と定数の和に分ける。

\[ \boxed{S_n=\frac{15(15^n-1)-14n}{196}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一般項から \(a_{n+1}=15a_n+1\)。2項の公約数はその差 \(a_{n+1}-15a_n=1\) を割る。

\[ \boxed{\gcd(a_n,a_{n+1})=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。