お茶の水女子大学 理学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第013回
この回のテストポイント
- 第1問：剰余定理と三次式の因数分解
- 第2問：円の弦と三角形の面積の最大化
- 第3問：指数関数の最大値と積分の極限
- 第4問：双曲線の接線と不変な面積
- 第5問：反射による経路の数え上げ
- 第6問：絶対値を含む面積の最適化
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 剰余定理と三次式の因数分解（17点）
\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(3)=0\)、\(P(-3)=54\) とする。
（1）a,bを求めなさい。（5点）
（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（5点）
（3）P(x)を \(x-6\) で割った余りを求めなさい。（7点）
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化（17点）
円 \\(x^2+y^2=9\\) の内部の点 \(Q(\frac{3}{2},0)\) を通る直線が、円とA、Bで交わる。
（1）直線が鉛直のとき、2つの交点を求めなさい。（5点）
（2）直線の傾きを実数mとするとき、弦ABの長さを求めなさい。（5点）
（3）鉛直の直線も含め、原点OとA、Bでできる三角形の面積の最大値を求め、等号が成り立つ直線を示しなさい。（7点）
第3問 指数関数の最大値と積分の極限（17点）
\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-3x}\) とする。
（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）
（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）
（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）
第4問 双曲線の接線と不変な面積（17点）
第1象限の双曲線 \\(xy=9\\) 上の点 \(P(t,9/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）
第5問 反射による経路の数え上げ（16点）
数直線上の点を原点から動かす。毎回、左右それぞれ確率1/2で1だけ進み、独立に \(6\) 回動かす。
（1）最後に原点に戻る移動列の数を求めなさい。（4点）
（2）最後に原点に戻り、途中で一度も負の位置に達しない移動列の数を求めなさい。負の位置に初めて達するまでの移動を反転する方法で説明しなさい。（4点）
（3）最後に原点に戻ったという条件のもとで、一度も負の位置に達していない確率を求めなさい。（8点）
第6問 絶対値を含む面積の最適化（16点）
\(0\le a\le3\) とする。\(0\le x\le3\) で、曲線 \\(y=x^2\\) と直線 \(y=ax\) の間の面積をS(a)とする。
（1）交点で区間を分け、面積をaの式で表しなさい。（4点）
（2）面積が最小になるaを求め、端点との比較を含めて説明しなさい。（4点）
（3）面積の最小値を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 剰余定理と三次式の因数分解
（1）
2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(P(x)=(x-3)\(x^2+3x-9\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 円の弦と三角形の面積の最大化
（1）
\(x=\frac{3}{2}\) を円の式に代入する。\\(y^2=\frac{27}{4}\\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
直線は \(mx-y-\frac{3}{2}m=0\)。原点からの距離をdとすると \(d^2=\frac{9m^2}{4(1+m^2)}\)。弦の半分と距離と半径で直角三角形を作り、\(AB=2\sqrt{9-d^2}\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
直線がQを通るので \(0\le d\le3/2\)。面積の2乗は \(d^2(9-d^2)\)。\(s=d^2\) とおくと \(s(9-s)\) は \(0\le s\le9/4\) で増加する。距離が最大となるのは鉛直の直線。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 指数関数の最大値と積分の極限
（1）
\(f'(x)=e^{-3x}(1-3x)\)。指数因子は正なので \(x=1/3\) の前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
部分積分する。原始関数は \(-\frac{3x+1}{9}e^{-3x}\) であり、微分でも確認できる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(e^{-3a}\) と \(ae^{-3a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=9/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-9/t=-9(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(18/t\)。その積が \(36\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+18/t\ge12\)。等号は \(t=3\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 反射による経路の数え上げ
（1）
右へ進む回数と左へ進む回数はそれぞれ \(3\) 回。右への移動の位置を選ぶ。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
悪い移動列について、初めて位置-1に着くまでの左右を反転する。原点から出て最後に位置2に着く移動列と1対1に対応する。この列は右が \(4\) 回、左が \(2\) 回なので \(\binom{6}{2}\) 個。全体から差し引く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
条件付きの標本空間は前問（1）の \(\binom{6}{3}\) 個。良い列の個数は全体の \(1/4\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 絶対値を含む面積の最適化
（1）
差は \(x(a-x)\)。\(0\le x\le a\) では直線が上、\(a\le x\le3\) では曲線が上。
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(S'(a)=a^2-\frac{9}{2}\)。定義域内で \(a=3/\sqrt2\) の前は減少、後は増加する。よって両端よりも小さい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
前問の値を面積の式に代入し、根号を整理して分母を有理化する。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。