お茶の水女子大学 文教育・生活科学などの数学 数学記述模試 第079回
この回のテストポイント
- 第1問：三次方程式の実数解の個数
- 第2問：抽出方法と条件付き確率
- 第3問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第4問：空間の垂線と四面体
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧
問題
第1問 三次方程式の実数解の個数（25点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-1875x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（7点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（7点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（11点）
第2問 抽出方法と条件付き確率（25点）
袋に赤玉 \(25\) 個、青玉 \(50\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（7点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（7点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（11点）
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）
\(a_1=25,\ a_{n+1}=2a_n+25\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）
第4問 空間の垂線と四面体（25点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（7点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（7点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-25)(x+25)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-25\) で極大、\(x=25\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a=31250\) では \(f(x)-a=(x-50)(x+25)^2\)。\(a=-31250\) では \(f(x)-a=(x+50)(x-25)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((25-1)/(75-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{50(50-1)}{75(75-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(25-1)<125-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+25=2(a_n+25)\) なので \(a_n+25=50\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a_j/2^j=25(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=150\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
底面OABの面積は \(625\)、Cからこの底面までの高さは \(75\) なので体積は \(15625\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。