お茶の水女子大学 文教育・生活科学などの数学 数学記述模試 第070回
この回のテストポイント
- 第1問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第2問：停止する試行と期待値の連立
- 第3問：等比数列と奇数番目の項の和
- 第4問：等周条件と三角形の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 二次関数の頂点・解・不等式（25点）
実数全体で \(f(x)=x^2-40x+380\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）
第2問 停止する試行と期待値の連立（25点）
表の確率が \(1/20\)、裏の確率が \(19/20\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。
（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（7点）
（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（7点）
（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（11点）
第3問 等比数列と奇数番目の項の和（25点）
初項20、公比2の等比数列をaₙとする。
（1）一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（11点）
第4問 等周条件と三角形の面積（25点）
周の長さが \(120\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-20)^2-20\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\((x-20)^2=20\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 停止する試行と期待値の連立
（1）
2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\(p=1/20,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
1回の表までの平均は \(20\) 回なので合計2回の表までの平均は \(40\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 等比数列と奇数番目の項の和
（1）
初項に公比のn−1乗を掛ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=120-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=60(60-a)^2(2a-60)\)。微分すると \((S^2)'=360(60-a)(40-a)\)。存在範囲で \(a=40\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
半周長は \(60\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=60r\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。