お茶の水女子大学 文教育・生活科学などの数学 数学記述模試 第055回
この回のテストポイント
- 第1問：二次関数の頂点・解・不等式
- 第2問：集合の包含と人数の計算
- 第3問：固定点を引く漸化式と重み付きの和
- 第4問：等周条件と三角形の面積
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 二次関数の頂点・解・不等式（25点）
実数全体で \(f(x)=x^2-38x+342\) を考える。
（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（7点）
（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（7点）
（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（11点）
第2問 集合の包含と人数の計算（25点）
95人のクラスで、集合Aの人数は57人、集合Bは38人、両方に属する人数は19人とする。
（1）少なくとも一方に属する人数を求めなさい。（7点）
（2）どちらにも属さない人数を求めなさい。（7点）
（3）一方だけに属する人数を求めなさい。（11点）
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和（25点）
\(a_1=19,\ a_{n+1}=2a_n+19\) で定まる数列を考える。
（1）適当な定数を加えて等比数列を作り、一般項を求めなさい。（7点）
（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（7点）
（3）\(\sum_{j=1}^n a_j/2^j\) を求めなさい。（11点）
第4問 等周条件と三角形の面積（25点）
周の長さが \(114\) の二等辺三角形を考える。等しい2辺の長さをa、底辺の長さをbとする。
（1）底辺をaで表し、三角形が存在するaの範囲を求めなさい。（7点）
（2）面積が最大になる辺の長さと最大面積を求め、最大になる理由を示しなさい。（7点）
（3）面積が最大になる三角形の内接円の半径を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 二次関数の頂点・解・不等式
（1）
\(f(x)=(x-19)^2-19\)。平方は非負なので頂点で最小になる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
\((x-19)^2=19\) より、平方根の正負を両方とる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 集合の包含と人数の計算
（1）
AとBの人数の和では共通部分を2回数えるため1回分引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
全体から和集合の人数を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
和集合から共通部分を引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 固定点を引く漸化式と重み付きの和
（1）
\(a_{n+1}+19=2(a_n+19)\) なので \(a_n+19=38\cdot2^{n-1}\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
一般項を代入し、\(\sum_{j=1}^n2^j=2^{n+1}-2\) を使う。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
\(a_j/2^j=19(1-2^{-j})\)。\(\sum_{j=1}^n2^{-j}=1-2^{-n}\) を差し引く。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 等周条件と三角形の面積
（1）
\(b=114-2a\)。\(b>0\) と三角不等式 \(b<2a\) の両方を満たす必要がある。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
底辺を二等分して高さを求めると \(S^2=57(57-a)^2(2a-57)\)。微分すると \((S^2)'=342(57-a)(38-a)\)。存在範囲で \(a=38\) の前は正、後は負。最大は正三角形のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
半周長は \(57\)。内心から3辺に垂線を下ろして分割すると \(S=57r\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。