お茶の水女子大学 文教育・生活科学などの数学 数学記述模試 第012回
この回のテストポイント
- 第1問：定義域のある二次関数とパラメータ
- 第2問：反復試行と条件付き確率
- 第3問：重解を使う三次曲線の面積
- 第4問：余弦定理・面積・正弦定理
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。標準計算と、条件整理・図形の立式・記述の応用を組み合わせます。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ（25点）
\(0\le x\le 10\) で \(f_t(x)=x^2-2tx+25\) とする。\(t\) は実数である。
（1）最小値を、パラメータの範囲で場合分けして求めなさい。（7点）
（2）定義域内のすべての値で関数値が非負になる条件を求めなさい。（7点）
（3）方程式 \(f_t(x)=0\) が定義域内に異なる2つの解をもつ条件を求めなさい。（11点）
第2問 反復試行と条件付き確率（25点）
公平な硬貨を5回投げる。表の回数をXとする。
（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（7点）
（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（7点）
（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（11点）
第3問 重解を使う三次曲線の面積（25点）
曲線 \(y=f(x)=x^3-75x\) の \(x=5\) における接線をlとする。
（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（7点）
（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（7点）
（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（11点）
第4問 余弦定理・面積・正弦定理（25点）
三角形ABCでAB=5、AC=10、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（7点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（7点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（11点）
解答・解説
第1問 定義域のある二次関数とパラメータ
（1）
平方完成すると \(f_t(x)=(x-t)^2+25-t^2\)。頂点が区間の左側・内部・右側にある場合に分ける。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
前問の最小値を0以上にする。内部の場合は \(-5\le t\le 5\) だが \(t>0\) との共通範囲をとる。右側の場合は条件を満たさない。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
判別式より \(t>5\) または \(t<-5\)。解の積が正で、区間が非負なので \(t>5\) が必要。頂点が区間内にあり、\(f_t(0)>0\)、\(f_t(10)\ge0\) なら2解とも区間内。右端での値は \(125-20t\)。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第2問 反復試行と条件付き確率
（1）
表が出る2回を選ぶ方法は \(5\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第3問 重解を使う三次曲線の面積
（1）
\(f'(5)=0\) なので \(l:y=-250\)。差は \((x-5)^2(x+10)\)。接点の横座標は2重の根となる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
区間 \([-10,5]\) では差は非負。
。原始関数は \\(x^4/4-\frac{75}{2}x^2+250x\\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
非負の横座標の部分は
。全体の面積で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。
第4問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で \(BC^2=25+100-100\cos60^\circ\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に5点、結論と条件の確認に6点。