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日本医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第047回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　停止する試行と期待値の連立（17点）

表の確率が \(1/27\)、裏の確率が \(26/27\) の硬貨を独立に投げ、初めて表が2回連続したところで止める。試行回数をTとする。

（1）2回目と3回目に初めて止まる確率をそれぞれ求めなさい。（5点）

（2）直前が表でない状態と表の状態について、残りの試行回数の期待値を連立して、Tの期待値を求めなさい。期待値が有限であることは用いてよい。（5点）

（3）表が合計2回出ればよい場合の期待値と比較し、差を求めなさい。（7点）

第2問　三次方程式の実数解の個数（17点）

実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-2187x=a\) を考える。

（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）

（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）

第3問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=27,B=27i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第4問　重解を使う三次曲線の面積（17点）

曲線 \(y=f(x)=x^3-2187x\) の \(x=27\) における接線をlとする。

（1）接線と曲線のすべての交点を求めなさい。重解の意味も説明しなさい。（5点）

（2）曲線と接線で囲まれた有限部分の面積を求めなさい。（5点）

（3）その部分のうち、横座標が非負である部分の面積が全体に占める割合を求めなさい。（7点）

第5問　区分求積と和の極限（16点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{27+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{27n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（4点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（4点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（8点）

第6問　空間の垂線と四面体（16点）

空間で

\[ O(0,0,0),A(27,0,0),B(0,54,0),C(0,0,81) \]

を考える。

（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（4点）

（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（4点）

（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　停止する試行と期待値の連立

（1）

2回で止まる列は表表、3回で初めて止まる列は裏表表だけ。独立性により確率を掛ける。

\[ \boxed{P(T=2)=\frac{1}{729},\quad P(T=3)=\frac{26}{19683}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(p=1/27,q=1-p\) とする。2状態の期待値をE、Fとすると \(E=1+qE+pF\)、\(F=1+qE\)。代入して \(p^2E=1+p\)。

\[ \boxed{756} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

1回の表までの平均は \(27\) 回なので合計2回の表までの平均は \(54\) 回。連続という条件を課すと期待値は前問の値となる。

\[ \boxed{E_{\text{合計2回}}=54,\quad\text{差}=702} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　三次方程式の実数解の個数

（1）

\(f'(x)=3(x-27)(x+27)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-27\) で極大、\(x=27\) で極小となる。

\[ \boxed{\text{極大値 }39366,\quad\text{極小値 }-39366} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。

\[ \boxed{-39366<a<39366} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(a=39366\) では \(f(x)-a=(x-54)(x+27)^2\)。\(a=-39366\) では \(f(x)-a=(x+54)(x-27)^2\)。

\[ \boxed{a=39366:x=-27,54;\quad a=-39366:x=-54,27} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=\frac{27}{2}(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=27\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=\frac{729}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=\frac{9}{2}(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=9\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　重解を使う三次曲線の面積

（1）

\(f'(27)=0\) なので \(l:y=-39366\)。差は \((x-27)^2(x+54)\)。接点の横座標は2重の根となる。

\[ \boxed{(-54,-39366),\quad(27,-39366)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

区間 \([-54,27]\) では差は非負。

\[ S=\int_{-54}^{27}(x^3-2187x+39366)\,dx \]

。原始関数は

\[ x^4/4-\frac{2187}{2}x^2+39366x \]

。

\[ \boxed{\frac{14348907}{4}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

非負の横座標の部分は

\[ \int_0^{27}(f(x)+39366)\,dx=\frac{1594323}{4} \]

。全体の面積で割る。

\[ \boxed{\frac19} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{27+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{27+j/n} \]

は \(g(x)=1/(27+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{27+x}\,dx=[\frac23(27+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(56\sqrt{7}-81\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{27+x}\,dx=[\log(27+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{28}{27}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　空間の垂線と四面体

（1）

平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。

\[ \boxed{6x+3y+2z=162} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=162\)。距離は \(7s\)。

\[ \boxed{H=(\frac{972}{49},\frac{486}{49},\frac{324}{49}),\quad OH=\frac{162}{7}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底面OABの面積は \(729\)、Cからこの底面までの高さは \(81\) なので体積は \(19683\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。

\[ \boxed{\frac{5103}{2}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。