日本医科大学 医学部・数学IIIを含む 数学記述模試 第028回
この回のテストポイント
- 第1問：抽出方法と条件付き確率
- 第2問：三次方程式の実数解の個数
- 第3問：双曲線の接線と不変な面積
- 第4問：逆数で線形化し差を足す
- 第5問：三角関数の積分漸化式
- 第6問：空間の垂線と四面体
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。応用問題で、場合分け・必要十分条件・証明の記述を重視します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 抽出方法と条件付き確率（17点）
袋に赤玉 \(24\) 個、青玉 \(48\) 個が入っている。すべての玉は同様に確からしく選ばれる。
（1）戻さずに2個取り出すとき、両方が赤玉である確率を求めなさい。（5点）
（2）戻さずに2個取り出し、少なくとも1個は赤玉だったと分かった。両方が赤玉である条件付き確率を求めなさい。（5点）
（3）今度は1個目を戻してから2個目を取り出す。同じ条件付き確率を求め、前問の値と比較しなさい。（7点）
第2問 三次方程式の実数解の個数（17点）
実数 \(a\) に対し、方程式 \(x^3-1728x=a\) を考える。
（1）左辺の関数の極大値と極小値を求めなさい。（5点）
（2）異なる3つの実数解をもつための必要十分条件を求め、理由を説明しなさい。（5点）
（3）異なる実数解がちょうど2つとなる場合のパラメータと、そのときの解をすべて求めなさい。（7点）
第3問 双曲線の接線と不変な面積（17点）
第1象限の双曲線 \\(xy=576\\) 上の点 \(P(t,576/t)\)、\(t>0\) を考える。
（1）接線の方程式と2つの軸との交点を求めなさい。（5点）
（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積を求め、接点によらないことを説明しなさい。（5点）
（3）2つの正の切片の和の最小値と、そのときの接点を求めなさい。（7点）
第4問 逆数で線形化し差を足す（17点）
で数列を定める。
（1）すべての項が正であることを確認し、一般項を求めなさい。（5点）
（2）\(\sum_{j=1}^n a_ja_{j+1}\) を求めなさい。（5点）
（3）\(\prod_{j=1}^n(1+a_j)\) を求めなさい。（7点）
第5問 三角関数の積分漸化式（16点）
とする。\(n\) は0以上の整数である。
（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（4点）
（2）\(I_{48}\) を求めなさい。（4点）
（3）\(I_{49}\) を求めなさい。（8点）
第6問 空間の垂線と四面体（16点）
空間で
を考える。
（1）平面ABC上の点の座標が満たす方程式を求めなさい。（4点）
（2）Oから平面ABCに下ろした垂線の足Hと距離OHを求めなさい。（4点）
（3）四面体OABCの体積を2通りに表し、三角形ABCの面積を求めなさい。（8点）
解答・解説
第1問 抽出方法と条件付き確率
（1）
最初の赤の確率は1/3、2個目は \((24-1)/(72-1)\)。順序を区別しない組合せによる数え方でも一致する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
少なくとも1個が赤という確率は \(1-\frac{48(48-1)}{72(72-1)}\)。両方が赤という確率をこれで割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
復元抽出では各回の赤の確率が1/3で独立。両方赤は1/9、少なくとも1個赤は5/9。比較には \(5(24-1)<120-1\) を用いる。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 三次方程式の実数解の個数
（1）
\(f'(x)=3(x-24)(x+24)\)。増減は順に増加・減少・増加なので、\(x=-24\) で極大、\(x=24\) で極小となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
水平線が3つの単調な部分にそれぞれ1回交わる条件は、高さが極小値より大きく極大値より小さいことである。端点では接して重解をもつため除く。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
\(a=27648\) では \(f(x)-a=(x-48)(x+24)^2\)。\(a=-27648\) では \(f(x)-a=(x+48)(x-24)^2\)。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 双曲線の接線と不変な面積
（1）
\(y=576/x\) を微分して傾きを求める。接線は \(y-576/t=-576(x-t)/t^2\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
切片は \(2t\) と \(1152/t\)。その積が \(2304\) で一定なので、面積も一定となる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
相加相乗平均より \(2t+1152/t\ge96\)。等号は \(t=24\) のとき。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 逆数で線形化し差を足す
（1）
初項が正で、正の項から次の正の項が作られるので帰納的にすべて正。逆数をとると \(1/a_{n+1}=1/a_n+1\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
漸化式から
。和をとると中間の項が消える。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
漸化式を変形すると \(1+a_j=a_j/a_{j+1}\)。積では中間の項が約分される。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 三角関数の積分漸化式
（1）
\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(24\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
\(I_1=1\) から漸化式を \(24\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 空間の垂線と四面体
（1）
平面の方程式を \(ux+vy+wz=c\) とおき、3点を代入する。係数は共通倍してよい。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
法線ベクトルは \((6,3,2)\) なので \(H=s(6,3,2)\)。平面の式への代入で \(49s=144\)。距離は \(7s\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
底面OABの面積は \(576\)、Cからこの底面までの高さは \(72\) なので体積は \(13824\)。一方、ABCを底面とすると \(V=S_{ABC}\cdot OH/3\)。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。