J 受験ヒーロー

名古屋工業大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第089回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　三次関数の増減・接線・定積分（17点）

\(f(x)=x^3-18x^2\) とする。

（1）極大値と極小値を求めなさい。（5点）

（2）\(x=6\) における接線を求めなさい。（5点）

（3）\(\int_0^{18} f(x)\,dx\) を求めなさい。（7点）

第2問　委員選出と余事象の数え上げ（17点）

男子6人、女子6人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）

第3問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{36}=1 \]

の第1象限の点 \(P(12\cos t,6\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第4問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-6x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第5問　内積・角度とベクトルの射影（16点）

\[ \mathbf a=(6,1),\ \mathbf b=(1,6) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（4点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（4点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（8点）

第6問　二次関数の頂点・解・不等式（16点）

実数全体で \(f(x)=x^2-12x+30\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三次関数の増減・接線・定積分

（1）

\(f\prime(x)=3x(x-12)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=12で極小。

\[ \boxed{\text{極大値 }0,\quad\text{極小値 }-864} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

傾きは \(-108\)、接点のy座標は \(-432\)。点傾きの式で接線を求める。

\[ \boxed{y=-108x+216} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。

\[ \boxed{-8748} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{220} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{90} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{180} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{12}+\frac{y\sin t}{6}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(12/\cos t\)、\(6/\sin t\)。面積は \(36/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=72,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(36\(1-x^2/144\)\)。\(-12\le x\le12\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{576\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-6x}(1-6x)\)。指数因子は正なので \(x=1/6\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{6},\quad\max f=\frac1{6e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{6x+1}{36}e^{-6x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(6a+1)e^{-6a}}{36}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-6a}\) と \(ae^{-6a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{36}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=12,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{37}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{12}{37}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=37t^2-24t+37 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{1225}{37},\quad t=\frac{12}{37}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-6)^2-6\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-6,\quad x=6} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\((x-6)^2=6\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=6\pm\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{6-\sqrt{6}\le x\le 6+\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。