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新潟大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第094回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　三角関数の積分漸化式（17点）

\[ I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx \]

とする。\(n\) は0以上の整数である。

（1）部分積分により、次数を2つ下げる漸化式を導きなさい。（5点）

（2）\(I_{20}\) を求めなさい。（5点）

（3）\(I_{21}\) を求めなさい。（7点）

第2問　1の累乗根と積・距離の和（17点）

方程式 \(z^10=1\) の相異なる解を \(z_0,z_1,\ldots,z_{9}\) とし、\(z_0=1\) とする。

（1）解を三角関数で表し、解の和を求めなさい。（5点）

（2）\(\sum_{j=0}^{9}|z_j-1|^2\) を求めなさい。（5点）

（3）\(\prod_{j=1}^{9}(1-z_j)\) を求めなさい。（7点）

第3問　内分点・内積・三角形の面積（17点）

A(0,0)、B(20,0)、C(0,20)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（5点）

（3）三角形APQの面積を求めなさい。（7点）

第4問　委員選出と余事象の数え上げ（17点）

男子10人、女子10人から、区別のない委員3人を選ぶ。

（1）すべての選び方の数を求めなさい。（5点）

（2）女子2人、男子1人の選び方の数を求めなさい。（5点）

（3）男女がともに含まれる選び方の数を求めなさい。（7点）

第5問　円と直線の交点数・弦の長さ（16点）

円 \\(x^2+y^2=100\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（4点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（4点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（8点）

第6問　直角三角形の三角比と内接円（16点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=10、AC=20とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（4点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（4点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　三角関数の積分漸化式

（1）

\(n\ge2\) とする。\(\sin^{n-1}x\) と \(\sin x\) に分けて部分積分すると、境界項は0で

\[ I_n=(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx=(n-1)(I_{n-2}-I_n) \]

。

\[ \boxed{I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}\quad(n\ge2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(I_0=\pi/2\) から漸化式を \(10\) 回使う。偶数の積と奇数の積を整理すると

\[ I_{2m}=\binom{2m}{m}\pi/(2\cdot4^m) \]

。

\[ \boxed{\frac{46189}{524288}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(I_1=1\) から漸化式を \(10\) 回使う。\(I_{2m+1}=4^m(m!)^2/(2m+1)!\)。

\[ \boxed{\frac{262144}{969969}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　1の累乗根と積・距離の和

（1）

単位円を \(10\) 等分する点が解。等比数列の和、または多項式の \(z^{9}\) の係数から解の和が0と分かる。

\[ \boxed{z_j=\cos\frac{2\pi j}{10}+i\sin\frac{2\pi j}{10},\quad\sum z_j=0} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|z_j|=1\) なので

\[ |z_j-1|^2=2-2\operatorname{Re}z_j \]

。前問の和を使う。

\[ \boxed{20} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ z^10-1=(z-1)\prod_{j=1}^{9}(z-z_j) \]

。\(z-1\) で割ると左辺は \(1+z+\cdots+z^{9}\)。多項式の恒等式にz=1を代入する。

\[ \boxed{10} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　内分点・内積・三角形の面積

（1）

中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。

\[ \boxed{P=(10,0),\quad Q=(\frac{40}{3},\frac{20}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。

\[ \boxed{\frac{400}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。

\[ \boxed{\frac{100}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　委員選出と余事象の数え上げ

（1）

全員から3人を選ぶ組合せを用いる。

\[ \boxed{1140} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

女子から2人を選び、男子から1人を選ぶ。選択を組み合わせるので積をとる。

\[ \boxed{450} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

全員が男子、全員が女子の2つの余事象は重ならない。全体から両方を引く。

\[ \boxed{900} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-100=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-10\sqrt2\le a\le10\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm10\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{400-2a^2},\quad\max L=20\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=10\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

面積は \(100\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{4\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=5(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。