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新潟大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第088回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　指数関数の最大値と積分の極限（17点）

\(x\ge0\) で \(f(x)=xe^{-8x}\) とする。

（1）増減を調べ、最大値とそれをとる横座標を求めなさい。（5点）

（2）\(a>0\) として \(\int_0^a f(x)\,dx\) を求めなさい。（5点）

（3）前問の定積分で上端を限りなく大きくしたときの極限値を求めなさい。（7点）

第2問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{256}+\frac{y^2}{64}=1 \]

の第1象限の点 \(P(16\cos t,8\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第3問　内積・角度とベクトルの射影（17点）

\[ \mathbf a=(8,1),\ \mathbf b=(1,8) \]

とする。

（1）内積と、それぞれの大きさを求めなさい。（5点）

（2）2つのベクトルのなす角の余弦を求めなさい。（5点）

（3）実数tに対し、|a−tb|²の最小値とそのときのtを求めなさい。（7点）

第4問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を8回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第5問　剰余定理と三次式の因数分解（16点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(8)=0\)、\(P(-8)=1024\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（4点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（4点）

（3）P(x)を \(x-16\) で割った余りを求めなさい。（8点）

第6問　データの変換と分散（16点）

5個のデータは \(6,7,8,9,10\) である。分散は偏差の2乗の平均で定義する。各データxをy=2x+3に変換する。

（1）元のデータの平均・分散を求めなさい。（4点）

（2）変換後の平均・分散を求めなさい。（4点）

（3）元のデータと変換後のデータの相関係数を求め、符号の理由を説明しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　指数関数の最大値と積分の極限

（1）

\(f'(x)=e^{-8x}(1-8x)\)。指数因子は正なので \(x=1/8\) の前は増加、後は減少。

\[ \boxed{x=\frac1{8},\quad\max f=\frac1{8e}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

部分積分する。原始関数は \(-\frac{8x+1}{64}e^{-8x}\) であり、微分でも確認できる。

\[ \boxed{\frac{1-(8a+1)e^{-8a}}{64}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(e^{-8a}\) と \(ae^{-8a}\) はともに0に収束する。前問の式で残る定数項をとる。

\[ \boxed{\frac{1}{64}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{16}+\frac{y\sin t}{8}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(16/\cos t\)、\(8/\sin t\)。面積は \(64/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=128,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(64\(1-x^2/256\)\)。\(-16\le x\le16\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{4096}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　内積・角度とベクトルの射影

（1）

対応する成分の積の和が内積。大きさは成分の2乗和の平方根。

\[ \boxed{\mathbf a\cdot\mathbf b=16,\quad |\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{65}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

内積を2つのベクトルの大きさの積で割る。

\[ \boxed{\frac{16}{65}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ |\mathbf a-t\mathbf b|^2=65t^2-32t+65 \]

。平方完成して頂点を求める。

\[ \boxed{\min=\frac{3969}{65},\quad t=\frac{16}{65}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(8\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{7}{64}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{255}{256}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{28}{255}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-128,\quad b=512} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(P(x)=(x-8)\(x^2+8x-64\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=8,4(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{2560} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　データの変換と分散

（1）

平均は中央の \(8\)。偏差は −2,−1,0,1,2 なので2乗和を5で割る。

\[ \boxed{\bar x=8,\quad V_x=2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

平均は同じ一次式で変換され、各偏差は2倍になる。偏差の2乗の平均は4倍になる。

\[ \boxed{\bar y=19,\quad V_y=8} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

共分散は元の分散の2倍。標準偏差の積も元の分散の2倍であり、正の傾きの完全な直線関係となる。

\[ \boxed{r=1} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。