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新潟大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第082回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le18\) で曲線 \(y=x(18-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第2問　複素数の回転と正三角形（17点）

複素数平面で \(A=18,B=18i\) とする。ABを1辺とする正三角形の第3頂点をCとする。

（1）2つの可能な第3頂点を複素数で求めなさい。（5点）

（2）正三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）それぞれの外心の複素数と、共通の外接円の半径を求めなさい。（7点）

第3問　等比数列と奇数番目の項の和（17点）

初項18、公比2の等比数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）最初のn個の奇数番目の項の和を求めなさい。（7点）

第4問　合同な2円の交点と共通弦（17点）

中心O(0,0)、A(18,0)、半径がともに18の2円を考える。上側の交点をP、下側をQとする。

（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）

（2）共通弦PQの長さを求めなさい。（5点）

（3）三角形OAPの面積を求めなさい。（7点）

第5問　円と直線の交点数・弦の長さ（16点）

円 \\(x^2+y^2=324\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（4点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（4点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（8点）

第6問　二次関数の頂点・解・不等式（16点）

実数全体で \(f(x)=x^2-36x+306\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）

解答・解説

第1問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{18}x(18-x)\,dx\)。

\[ \boxed{972} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(18-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{18}x^2(18-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{314928}{5}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le324/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(18\pm\sqrt{324-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=18\pi\sqrt{324-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{17496\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　複素数の回転と正三角形

（1）

\[ C-A=(B-A)(\cos(\pi/3)\pm i\sin(\pi/3)) \]

。整理すると \(C=(A+B)/2\pm i\sqrt3(B-A)/2\)。両符号が2つの側を表す。

\[ \boxed{C=9(1\pm\sqrt3)(1+i)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(|B-A|=18\sqrt2\)。正三角形の面積は辺の2乗の \(\sqrt3/4\) 倍。

\[ \boxed{S=162\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正三角形の外心は重心とも一致するので \((A+B+C)/3\)。半径は辺の長さを \(\sqrt3\) で割る。

\[ \boxed{O_\pm=3(3\pm\sqrt3)(1+i),\quad R=6\sqrt{6}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　等比数列と奇数番目の項の和

（1）

初項に公比のn−1乗を掛ける。

\[ \boxed{a_n=18\cdot2^{n-1}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

和に公比を掛けて元の和を引くと、中間の項が消える。

\[ \boxed{S_n=18(2^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

奇数番目の項の列は初項が同じで公比4の等比数列となる。

\[ \boxed{T_n=6(4^n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　合同な2円の交点と共通弦

（1）

PもQもOとAから等距離なので、OAの垂直二等分線上にある。横座標は \(9\)。直角三角形で三平方の定理を使って高さを求める。

\[ \boxed{P=(9,9\sqrt{3}),\quad Q=(9,-9\sqrt{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

PQは縦の線分なのでy座標の差をとる。

\[ \boxed{18\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

底辺OAと高さPのy座標を掛けて2で割る。

\[ \boxed{81\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-324=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-18\sqrt2\le a\le18\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm18\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{1296-2a^2},\quad\max L=36\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-18)^2-18\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-18,\quad x=18} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\((x-18)^2=18\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=18\pm\sqrt{18}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{18-\sqrt{18}\le x\le 18+\sqrt{18}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。