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新潟大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第060回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　対数の評価と部分積分（17点）

自然対数を用いる。\(1\le x\le31\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。

（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）

（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）

（3）

\[ \int_1^{31}\frac{\log x}{x^2}\,dx \]

を求めなさい。（7点）

第2問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{3844}+\frac{y^2}{961}=1 \]

の第1象限の点 \(P(62\cos t,31\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第3問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+31)(n+32)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{64}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第4問　余弦定理・面積・正弦定理（17点）

三角形ABCでAB=31、AC=62、角A=60°とする。

（1）BCを求めなさい。（5点）

（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）

（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）

第5問　剰余定理と三次式の因数分解（16点）

\(P(x)=x^3+ax+b\) とし、\(P(31)=0\)、\(P(-31)=59582\) とする。

（1）a,bを求めなさい。（4点）

（2）P(x)=0の解をすべて求めなさい。（4点）

（3）P(x)を \(x-62\) で割った余りを求めなさい。（8点）

第6問　二次方程式の解の符号（16点）

実数tに対し \\(x^2-2tx+961=0\\) を考える。

（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）

（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（8点）

解答・解説

第1問　対数の評価と部分積分

（1）

\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。

\[ \boxed{\log x\le x-1,\quad\text{等号は }x=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<31\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。

\[ \boxed{\max f=\frac1e,\quad x=e} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。

\[ \boxed{1-\frac{\log31+1}{31}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{62}+\frac{y\sin t}{31}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(62/\cos t\)、\(31/\sin t\)。面積は \(961/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=1922,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(961\(1-x^2/3844\)\)。\(-62\le x\le62\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{238328}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+31}-\frac1{n+32}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{32(n+32)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{32} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　余弦定理・面積・正弦定理

（1）

余弦定理で

\[ BC^2=961+3844-3844\cos60^\circ \]

。

\[ \boxed{31\sqrt3} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。

\[ \boxed{\frac{961}{2}\sqrt{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。

\[ \boxed{31} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　剰余定理と三次式の因数分解

（1）

2つの条件を代入してa,bの連立一次方程式を解く。

\[ \boxed{a=-1922,\quad b=29791} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\(P(x)=(x-31)\(x^2+31x-961\)\)。残った二次方程式に解の公式を使う。

\[ \boxed{x=31,\frac{31}{2}(-1\pm\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

一次式で割った余りは、その一次式の零点での多項式の値に等しい。

\[ \boxed{148955} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　二次方程式の解の符号

（1）

判別式は \(4(t^2-961)\)。0以上となる範囲を求める。

\[ \boxed{t\le-31\ \text{または}\ t\ge31} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。

\[ \boxed{t>31} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

解の積は \(961\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。

\[ \boxed{\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{2t}{961}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。