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新潟大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第052回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

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問題

第1問　回転軸を変える体積計算（17点）

\(0\le x\le20\) で曲線 \(y=x(20-x)\) とx軸で囲まれる領域をDとする。

（1）Dの面積を求めなさい。（5点）

（2）Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めなさい。（5点）

（3）Dをy軸の周りに1回転してできる立体の体積を、yに垂直な切り口の面積を用いて求めなさい。（7点）

第2問　複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）

複素数zが \(|z-20|=2|z+20|\) を満たす。

（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）

（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）

（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）

第3問　部分分数分解と有限和の評価（17点）

\(a_n=\frac1{(n+20)(n+21)}\) とする。

（1）aₙを2つの分数の差に分解しなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和Sₙを求めなさい。（5点）

（3）\(S_n\ge\frac1{42}\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第4問　反復試行と条件付き確率（17点）

公平な硬貨を20回投げる。表の回数をXとする。

（1）表がちょうど2回出る確率を求めなさい。（5点）

（2）表が少なくとも1回出る確率を求めなさい。（5点）

（3）表が少なくとも1回出たという条件で、ちょうど2回出た確率を求めなさい。（7点）

第5問　円と直線の交点数・弦の長さ（16点）

円 \\(x^2+y^2=400\\) と直線 \(y=x+a\) を考える。

（1）共有点をもつaの範囲を求めなさい。（4点）

（2）接するときのaと接点を求めなさい。（4点）

（3）2交点を結ぶ弦の長さをaで表し、最大値を求めなさい。（8点）

第6問　直角三角形の三角比と内接円（16点）

直角三角形ABCで角Aが直角、AB=20、AC=40とする。

（1）斜辺BCと角Bの余弦を求めなさい。（4点）

（2）AからBCに下ろした高さを求めなさい。（4点）

（3）内接円の半径を求めなさい。（8点）

解答・解説

第1問　回転軸を変える体積計算

（1）

非負の関数の下の面積なので \(S=\int_0^{20}x(20-x)\,dx\)。

\[ \boxed{\frac{4000}{3}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切り口は半径 \(x(20-x)\) の円。

\[ V_x=\pi\int_0^{20}x^2(20-x)^2\,dx \]

。展開して項別に積分する。

\[ \boxed{\frac{320000}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\(0\le y\le400/4\)。左右の境界は \(x_\pm=(20\pm\sqrt{400-4y})/2\)。切り口は環で、面積は

\[ \pi(x_+^2-x_-^2)=20\pi\sqrt{400-4y} \]

。これをyについて積分する。

\[ \boxed{\frac{80000}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　複素数の距離条件と逆数の軌跡

（1）

\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-20)^2+y^2=4((x+20)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。

\[ \boxed{(x+\frac{100}{3})^2+y^2=\frac{6400}{9}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

原点から中心までの距離は \(100/3\)、半径は \(80/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。

\[ \boxed{\max|z|=60\ (z=-60),\quad\min|z|=\frac{20}{3}\ (z=-\frac{20}{3})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-20w|=2|1+20w|\) に直し、同様に平方完成する。

\[ \boxed{(\operatorname{Re}w+\frac{1}{12})^2+(\operatorname{Im}w)^2=\frac{1}{225}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　部分分数分解と有限和の評価

（1）

分子が隣接する分母の差であることを利用する。

\[ \boxed{a_n=\frac1{n+20}-\frac1{n+21}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

隣接する項が打ち消し合い、最初と最後の分数だけが残る。

\[ \boxed{S_n=\frac{n}{21(n+21)}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

前問の和を代入する。分母は正なので両辺に掛けてnの不等式へ直す。

\[ \boxed{21} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　反復試行と条件付き確率

（1）

表が出る2回を選ぶ方法は \(20\) 個の位置から2個選ぶ組合せ。各列の確率は同じ。

\[ \boxed{\frac{95}{524288}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

余事象はすべて裏である1列。全体からこの確率を引く。

\[ \boxed{\frac{1048575}{1048576}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

ちょうど2回表が出る事象は条件の事象に含まれるので、前2問の確率の比をとる。

\[ \boxed{\frac{38}{209715}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　円と直線の交点数・弦の長さ

（1）

代入すると \\(2x^2+2ax+a^2-400=0\\)。判別式を0以上にする。

\[ \boxed{-20\sqrt2\le a\le20\sqrt2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

判別式が0のときx=−a/2、y=a/2となる。

\[ \boxed{a=\pm20\sqrt2,\quad P=(-a/2,a/2)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

原点から直線までの距離は|a|/√2。弦の中点までの距離と半径で直角三角形を作る。

\[ \boxed{L=\sqrt{1600-2a^2},\quad\max L=40\ (a=0)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　直角三角形の三角比と内接円

（1）

三平方の定理で斜辺を求め、角Bの隣辺ABを斜辺で割る。

\[ \boxed{BC=20\sqrt5,\quad\cos B=\frac1{\sqrt5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

面積は \(400\)。底辺をBCとして面積の等式を立てる。

\[ \boxed{8\sqrt{5}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

内心と各頂点を結ぶと、面積は内接円の半径と半周長の積になる。分母を有理化する。

\[ \boxed{r=10(3-\sqrt5)} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。