新潟大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第050回
この回のテストポイント
- 第1問：対数の評価と部分積分
- 第2問：複素数の距離条件と逆数の軌跡
- 第3問：内分点・内積・三角形の面積
- 第4問：余弦定理・面積・正弦定理
- 第5問：三次関数の増減・接線・定積分
- 第6問：二次方程式の解の符号
試験の条件と取り組み方
この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。
大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。
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問題
第1問 対数の評価と部分積分（17点）
自然対数を用いる。\(1\le x\le26\) において \(f(x)=(\log x)/x\) を考える。
（1）すべての \(x>0\) で \(\log x\le x-1\) を示し、等号条件を述べなさい。（5点）
（2）定義域内での関数の最大値と、それをとる値を求めなさい。（5点）
（3）
を求めなさい。（7点）
第2問 複素数の距離条件と逆数の軌跡（17点）
複素数zが \(|z-26|=2|z+26|\) を満たす。
（1）実部と虚部を使って軌跡の方程式を求め、中心と半径を示しなさい。（5点）
（2）絶対値の最大値と最小値、およびそれらをとる複素数を求めなさい。（5点）
（3）逆数w=1/zの軌跡も求めなさい。逆数が定義できる理由を述べなさい。（7点）
第3問 内分点・内積・三角形の面積（17点）
A(0,0)、B(52,0)、C(0,52)とする。PはABの中点、QはBCをBQ:QC=1:2に内分する点とする。
（1）P,Qの座標を求めなさい。（5点）
（2）ベクトルAPとAQの内積を求めなさい。（5点）
（3）三角形APQの面積を求めなさい。（7点）
第4問 余弦定理・面積・正弦定理（17点）
三角形ABCでAB=26、AC=52、角A=60°とする。
（1）BCを求めなさい。（5点）
（2）三角形の面積を求めなさい。（5点）
（3）外接円の半径を求めなさい。（7点）
第5問 三次関数の増減・接線・定積分（16点）
\(f(x)=x^3-78x^2\) とする。
（1）極大値と極小値を求めなさい。（4点）
（2）\(x=26\) における接線を求めなさい。（4点）
（3）\(\int_0^{78} f(x)\,dx\) を求めなさい。（8点）
第6問 二次方程式の解の符号（16点）
実数tに対し \\(x^2-2tx+676=0\\) を考える。
（1）実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）
（2）異なる2つの正の実数解をもつtの範囲を求めなさい。（4点）
（3）2つの実数解をα,βとするとき、逆数の和をtで表しなさい。（8点）
解答・解説
第1問 対数の評価と部分積分
（1）
\(g(x)=x-1-\log x\) とおく。\(g'(x)=(x-1)/x\) より1の前で減少、後で増加。最小値は \(g(1)=0\)。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
\(f'(x)=(1-\log x)/x^2\)。\(1<e<26\) なので、定義域内でeの前は増加、後は減少。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
部分積分により原始関数は \(-(\log x+1)/x\)。上下端を代入する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第2問 複素数の距離条件と逆数の軌跡
（1）
\(z=x+iy\) として2乗すると \((x-26)^2+y^2=4((x+26)^2+y^2)\)。平方完成して円の式に直す。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
原点から中心までの距離は \(130/3\)、半径は \(104/3\)。円は原点を含まない。原点と中心を結ぶ直線上の2点で距離の極値をとる。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
前問の最小値が正なので逆数をとれる。条件を \(|1-26w|=2|1+26w|\) に直し、同様に平方完成する。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第3問 内分点・内積・三角形の面積
（1）
中点は両端の座標の平均。内分点は2B+Cを3で割る。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
始点Aは原点なので位置ベクトル同士の内積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
APを底辺にし、Qのy座標を高さにして面積を求める。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第4問 余弦定理・面積・正弦定理
（1）
余弦定理で
。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（2）
2辺とその間の角から、辺の積と正弦の半分で面積を計算する。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。
（3）
正弦定理で、BCを角Aの正弦の2倍で割る。
採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。
第5問 三次関数の増減・接線・定積分
（1）
\(f\prime(x)=3x(x-52)\)。符号を調べるとx=0で極大、x=52で極小。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
傾きは \(-2028\)、接点のy座標は \(-35152\)。点傾きの式で接線を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
多項式を項別に積分し、上端と下端の値の差をとる。定積分は符号付きの値である。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。
第6問 二次方程式の解の符号
（1）
判別式は \(4(t^2-676)\)。0以上となる範囲を求める。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（2）
解の積は正で、和が正なら両方正になる。重解を除くため判別式は正とする。
採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。
（3）
解の積は \(676\)、和は2t。積が0ではないので逆数が定義できる。
採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。