J 受験ヒーロー

新潟大学 理系・数学IIIを含む 数学記述模試 第011回

この回のテストポイント

試験の条件と取り組み方

この模試の演習範囲は数学I（全範囲）／数学A（図形の性質・場合の数と確率）／数学II（全範囲）／数学B（数列）／数学C（ベクトル・平面上の曲線と複素数平面）／数学III（全範囲）です。問題・解答は独自に作成したものです。途中式、場合分け、証明の根拠も書きなさい。

大学公式の入試情報・公開問題を参照した対策用のオリジナル模試です。基本事項から標準問題まで、各大問の3小問で段階的に確認します。演習範囲・時間・大問数・満点・小問配点は本模試の設計です。実際の入試の時間・配点・出題形式を再現したものではありません。資料確認日：2026-10-04。出願時の試験条件は大学の最新募集要項で確認してください。

前の回 · 全100回の出題内容 · 次の回 · 大学別の一覧

問題

第1問　区分求積と和の極限（17点）

正の整数nについて、

\[ A_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\sqrt{32+\frac jn} \]

、

\[ B_n=\sum_{j=1}^n\frac1{32n+j} \]

とする。

（1）両方の和を、幅1/nの分割に対応する区分求積の形で説明しなさい。（5点）

（2）Aの数列の極限を求めなさい。（5点）

（3）Bの数列の極限を求めなさい。（7点）

第2問　楕円の接線と切片・回転体（17点）

楕円

\[ \frac{x^2}{4096}+\frac{y^2}{1024}=1 \]

の第1象限の点 \(P(64\cos t,32\sin t)\)、\(0<t<\pi/2\) を考える。

（1）この点での接線の方程式を求めなさい。（5点）

（2）接線と2つの座標軸でできる三角形の面積の最小値を求めなさい。（5点）

（3）楕円の内部をx軸の周りに回転させた立体の体積を求めなさい。（7点）

第3問　等差数列の一般項・和・境界（17点）

初項32、公差2の等差数列をaₙとする。

（1）一般項を求めなさい。（5点）

（2）初項から第n項までの和を求めなさい。（5点）

（3）\(a_n\ge 96\) となる最小の正の整数nを求めなさい。（7点）

第4問　非復元抽出の組合せと期待値（17点）

袋に赤玉64個、青玉32個がある。玉を戻さず順に3個取り出す。赤玉の数をXとする。

（1）赤2個、青1個となる確率を求めなさい。（5点）

（2）赤玉の個数Xの期待値を求めなさい。（5点）

（3）赤2個、青1個だったという条件で、最初の玉が赤だった確率を求めなさい。（7点）

第5問　対数の真数条件と単調性（16点）

\(F(x)=\log_2x+\log_2(x-32)\) を考える。

（1）定義域を求めなさい。（4点）

（2）\(F(x)=\log_2 2048\) を解きなさい。（4点）

（3）\(F(x)\le\log_2 2048\) を解きなさい。（8点）

第6問　二次関数の頂点・解・不等式（16点）

実数全体で \(f(x)=x^2-64x+992\) を考える。

（1）平方完成して最小値とそれをとる値を求めなさい。（4点）

（2）方程式f(x)=0の解を求めなさい。（4点）

（3）不等式f(x)≤0を解きなさい。（8点）

解答・解説

第1問　区分求積と和の極限

（1）

\(A_n\) は \(f(x)=\sqrt{32+x}\)、

\[ B_n=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac1{32+j/n} \]

は \(g(x)=1/(32+x)\) の右端の値を用いた和。両方とも区間[0,1]で連続なので定積分に収束する。

\[ \boxed{A_n\to\int_0^1f(x)\,dx,\quad B_n\to\int_0^1g(x)\,dx} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

\[ \lim A_n=\int_0^1\sqrt{32+x}\,dx=[\frac23(32+x)^{3/2}]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\frac23(33\sqrt{33}-128\sqrt{2})} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

\[ \lim B_n=\int_0^1\frac1{32+x}\,dx=[\log(32+x)]_0^1 \]

。

\[ \boxed{\log\frac{33}{32}} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第2問　楕円の接線と切片・回転体

（1）

楕円の式を陰関数微分すると \(y'=-x/(4y)\)。Pでの傾きと点を使って接線を整理する。

\[ \boxed{\frac{x\cos t}{64}+\frac{y\sin t}{32}=1} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

切片は \(64/\cos t\)、\(32/\sin t\)。面積は \(1024/(\sin t\cos t)\)。\(\sin t\cos t\le1/2\)、等号は \(t=\pi/4\)。

\[ \boxed{S_{\min}=2048,\quad t=\pi/4} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

切り口の半径の2乗は \(1024\(1-x^2/4096\)\)。\(-64\le x\le64\) で \\(\pi y^2\\) を積分する。

\[ \boxed{\frac{262144}{3}\pi} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第3問　等差数列の一般項・和・境界

（1）

初項に公差のn−1倍を加える。

\[ \boxed{a_n=32+2(n-1)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

初項と末項の平均に項数を掛ける。

\[ \boxed{S_n=n(n+31)} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

一般項を代入してnの不等式を解き、最小の整数を選ぶ。

\[ \boxed{33} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第4問　非復元抽出の組合せと期待値

（1）

色ごとに玉を選ぶ組合せの積を、全体から3個選ぶ組合せで割る。

\[ \boxed{\frac{2016}{4465}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（2）

各回が赤である指示変数の和で表す。各回の周辺確率は2/3で、期待値の加法性を使う。

\[ \boxed{2} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に3点。

（3）

条件の下で青玉の位置は3通りが等確率。最初が赤なのは残りの2通り。

\[ \boxed{\frac23} \]

採点の目安：考え方と立式に3点、結論と条件の確認に4点。

第5問　対数の真数条件と単調性

（1）

2つの真数がともに正になる条件の共通範囲をとる。

\[ \boxed{x>32} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

積の対数にまとめると \(x(x-32)=2048\)。2つの根のうち真数条件を満たすものを選ぶ。

\[ \boxed{x=64} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

底が1より大きいため、各対数は定義域内で増加する。等号となる点までが解となる。

\[ \boxed{32<x\le64} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。

第6問　二次関数の頂点・解・不等式

（1）

\(f(x)=(x-32)^2-32\)。平方は非負なので頂点で最小になる。

\[ \boxed{\min f=-32,\quad x=32} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（2）

\((x-32)^2=32\) より、平方根の正負を両方とる。

\[ \boxed{x=32\pm\sqrt{32}} \]

採点の目安：考え方と立式に2点、結論と条件の確認に2点。

（3）

上に開く放物線の値が非正になるのは、2つの零点の間（端点を含む）である。

\[ \boxed{32-\sqrt{32}\le x\le 32+\sqrt{32}} \]

採点の目安：考え方と立式に4点、結論と条件の確認に4点。